Bir 012014
 

Mūsų visuomenėje matematika žinoma tik kaip mokslo kalba, neturinti savarankiško turinio. Priešingai šiai nuomonei, šiuolaikinė matematika yra abstrakcijų pasaulio pažinimas, besiremiantis samprotavimų loginiu tikslumu ir grožio pajautimu. Šis tekstas0  yra bandymas aiškintis, ką tai reiškia, kaip pasireiškia matematikos turinio nežinojimas ir kaip galėtume į visa tai reaguoti. Pretekstu šiam bandymui tapo praėjusių metų gruodžio 18 dieną Lietuvos mokslų akademijoje vykusi konferencija ,,Menų ir tiksliųjų mokslų sanglaudos būklė ir perspektyvos Lietuvoje“.

Menų ir tiksliųjų mokslų sanglaudos panoramoje, kurią konferencijoje piešė1 literatūrologė V. Daujotytė, nėra matematikos. Tai nėra priekaištas autorei, ar kokia nors jos analizės kritika. Juk mes nekaltiname veidrodžio dėl to, ko jame nematome. Panorama yra perskyros tarp menų ir tiksliųjų mokslų Lietuvoje konstatavimas. Perskyros, kurią autorė vaizdžiai pavadino gyvenimo upe. Šios upės priešinguose krantuose atsidūrė kūryba ir mokslai. Literatūrologė Daujotytė rašo: ,,Sanglauda tarp meno ir mokslo gal ir gali būti pageidaujama, kaip nuolat dabar pageidaujame santarvės, dialogo, kitų gerų dalykų, bet iš esmės kūryba ir mokslai su ištikimosiomis jų palydovėmis (gal tiksliau būtų sakyti – įkvėpėjomis, inspiratorėmis) technologijomis yra priešingose [gyvenimo] upės pusėse, [...].“ 2  

Galima sutikti su tuo, kad mūsų mokslo politika sureikšmino technologijas, paversdama jas dalies mokslo įkvėpėjomis ir inspiratorėmis. Bet pritarti tam sunku. Mokslui ir matematikai tai reiškia tą patį, ką menui reikštų jo įkvėpėju ar inspiratoriumi padaryti tvorų dažymą. Mūsų realybės dalimi yra tai, kad pasaulio dvasinėje kultūroje menus ir mokslus (science) siejanti matematika guli  gyvenimo upės dugne.

Ši žinia nėra nei nauja, nei netikėta. Apie panašią perskyrą tarp humanitarikos ir gamtos mokslų buvo kalbėta ir rašyta daugybę kartų3. Apie visuomenėje paplitusius stereotipus matematikos atžvilgiu taip pat rašyta. Bet, vis dar nematyti požymių, jog tokia padėtis galėtų keistis artimiausioje ateityje. Dėl to pralaimi visa mūsų visuomenė. Jaunoji karta auga šiuolaikinės pasaulio dvasinės kultūros pasiekimus pilnai neatskleidžiančioje aplinkoje. Mes norime ugdyti kūrybiškumą ir kritinį mąstymą. Bet tuo pačiu ignoruojame efektyviausią tokio ugdymo priemonę  -  matematiką. Tai, kas matematikos vardu mokoma mūsų mokyklose tik sukelia antipatiją matematikai arba jos baimę.

Kūryba matematikoje pasireiškia bandant aptikti giluminius ryšius tarp abstrakčių idėjų. Mąstoma apie esmines ir bendras žmogaus aplinką apibūdinančias kategorijas: diskretumą ir tolydumą, baigtinumą ir begalybę, judėjimą ir erdvę  ir t.t. Šiuolaikinėje matematikoje įžvelgiama šimtais ir tūkstančiais šių kategorijų niuansų. Jos nagrinėjamos vis naujesniais aspektais ir metodais jau daugelį tūkstančių metų. Jų pagrindu kuriamos naujos gamtos ir visuomenės mokslų teorijos. Tai tęsis tol, kol egzistuos išsilavinusi žmonių visuomenė. Netgi daugiau, pagrindinių matematikos pasiekimų žinojimas visuomenėje turėtų būti tos visuomenės išsilavinimo rodikliu.

Mūsų visuomenėje matematika žinoma tik kaip pasaulio pažinimo instrumentas. Be abejonės, matematika turi savybę būti naudinga realaus pasaulio pažinime. Matematikoje gimstančios abstrakčios sąvokos ir jų savybės yra naudojamos išreikšti tai, ką mes spėjame esant tinkamu apibūdinant realųjį pasaulį. Bet tokių sąvokų atsiradimas buvo ir yra motyvuojamas labai įvairiai. Pirmosios aritmetikos ir geometrijos žinios ankstyvosiose civilizacijose atsirado siekiant išgyvenamumo. Dvasinės kultūros dalimi matematika aiškiai pastebima tik senovės graikų civilizacijoje. Vėliau matematikos vaidmuo ir matematinės veiklos motyvai nuolat kito. Naujaisiais laikais matematika tapo nuo filosofijos atsiskiriančio gamtos mokslo kalba. Begalybės sąvoka, kurią kaip išmanydama bandė apeiti graikų matematika, 17 amžiaus vakarų kultūroje tapo pagrindine ir neišvengiama priemone siekiant apibūdinti judėjimą. Ši veikla 19 amžiuje privedė prie to, kad matematikai teko atsiriboti nuo pasaulio pažinimo tikslo ir imtis savo pagrindų aiškinimosi. Pasekmė – šiuolaikinė matematika, kurioje dominuoja tūkstantmečiais besiformavusių savų problemų sprendimo motyvacija. Galiausiai matematika tapo abstrakcijų pasaulio pažinimu.

Laikydami matematiką tik realaus pasaulio pažinimo priemone, mes ignoruojame tai, kas šiuolaikinėje matematikoje yra esmingiausia – abstraktaus pasaulio pažinimas naudojant samprotavimų loginį pagrįstumą ir grožio jausmą. Būtent individualus grožio supratimas, o ne atitikimas realiajam pasauliui, tapo daugelio matematikų tiesos paieškos priemone. Šią matematikų nuostatą išreiškia vokiečių matematiko ir fiziko H. Weylio (1885-1955) žodžiai4: ,,Savo veikloje visada siekiau apjungti tiesą su grožiu, bet tais atvejais, kai tekdavo rinktis vieną iš dviejų, paprastai rinkdavausi grožį“. Galima tik pridurti, kad grožio siekimas matematinėje kūryboje paprastai veda į naują tiesą.   

Vis dėlto, būdami pragmatikais, mes neturėtume ignoruoti matematikos vertybinių bruožų. Matematinė veikla ugdo objektyvios tiesos paieškos poreikį remiantis proto argumentais. Matematikoje įdomi tik tiesa. Klaidingi teiginiai yra informacija parodanti, kur nėra prasmės ieškoti tiesos. Matematinė tiesa grindžiama tik logiškai pagrįstu samprotavimu, matematikų vadinamu įrodymu. Matematika yra vienintelė žinių sritis, kuri savo teiginius grindžia įrodymu. Savo tiesą grįsdamas autoritetu matematikų tarpe gali apsijuokti. Nebent šios vertybės mūsuose nebėra prioritetais.

Prieš bandant svarstyti, ar matematika laikytina Lietuvos dvasinės kultūros dalimi, reikia aptarti, kas yra matematika ir kuo ypatinga mūsų dvasinė kultūra. Svarbų mūsų kultūros bruožą taikliai apibūdino5 filosofas A. Sverdiolas naudodamas korio metaforą:

Korinė kultūros erdvės sąranga lemia, kad nėra viešosios, atviros diskusinės erdvės, kurioje susidurtų skirtingi požiūriai, būtų išklausomi kontrargumentai ir į juos atsakoma kitiems ir sau, šiaip stumiant svarstomus dalykus pirmyn. Tarpusavyje paprastai nebendraujama ir nebendradarbiaujama ne dėl pažiūrų nesuderinamumo, bet iš abejingumo ar netgi nežinojimo apie vieni kitų egzistavimą. Korinėje erdvėje prasta akustika, nėra rezonanso, todėl joks balsas čia nesusilaukia atsako. Todėl kiekvieną darbą tenka pradėti iš pat pradžių, nuo pradmenų aptarimo ir teksto elementaraus paskaitomumo užtikrinimo. Tenka būti arba švietėju, didaktu, arba savo geismingoje giesmėje užsimiršusiu kurtiniu, o tiksliau sakant, ir vienu, ir kitu.

Dėl tokios kultūrinės aplinkos verta paaukoti šiek tiek laiko susipažinimui su matematikos pagrindinėmis idėjomis bei matematikos, kaip dvasinės kultūros reiškinio, bruožais. Matematikos vaidmens Lietuvos kultūroje svarstymas atidedamas iki paskutinio skyrelio.

Kas yra matematika?

Matematika yra tai, ko paprastai nemokoma šiuolaikinėse mokyklose. Matematika yra apie tai, kas randasi už realaus pasaulio ribų. Tiksliau, matematika yra mūsų žinios apie tam tikras abstrakčias sąvokas ir jų loginius ryšius. Sąvokų tyrimas būdingas matematikai nuo antikos laikų. Šiandien šis bruožas tapo dominuojantis. Paprasčiausiomis matematikos sąvokomis yra aibė, skaičius, funkcija, erdvė, begalybė, tolydumas, diskretumas ir t. t. Bėgant šimtmečiams, šių sąvokų turinys nuolat kito. Dabartinis jų supratimas ir vartojimo būdas matematikoje labai skiriasi nuo to, kuris yra įprastas kasdieniniame gyvenime ir bendrinėje kalboje.

Nuo kitų abstrakčių sąvokų matematinė sąvoka skiriasi savo tikslumu ir vienareikšmiškumu; sąvoka apibūdinami matematiniai objektai turi lygiai tiek savybių, kiek jų yra išvardinta sąvokos turinyje. Kuo idėja ar objektas yra abstraktesnis, tuo sunkiau išsaugoti sąvokos tikslumą. Matematikos idėjų evoliucijos eigoje sąvokų tikslumo standartai nuolat kito. Tai puikiai iliustruoja skaičiaus sąvokos evoliucija.

Skaičius, kaip skaičiavimo priemonė, naudotas visose žinomose ankstyvosiose civilizacijose. Kaip skaičiai ir skaičiavimas atskleidžia žmogaus išradingumą galime patirti skaitydami pernai į lietuvių kalbą išverstą G. Ifraho knygą6 ,,Universalioji skaičių istorija“. Daugiau kaip tūkstantyje puslapių išdėstyta skaičiaus istorija parodo, kaip skaičiavimas evoliucionavo nuo konkrečios daugybės prie abstrakčiojo skaičiaus, kaip atsirado kiekiniai (kardinaliniai) ir kelintiniai sveikieji skaičiai, skaičiaus, kaip sąvokos, skyrimą nuo skaitmens, kaip skaičiaus simbolio,  ir daugelį kitų dalykų.  Tačiau šiuolaikinė skaičiaus samprata Ifraho knygoje nėra aptariama.

Matematikos, kaip su praktine veikla tiesiogiai nesusijusių žinių sistemos, atsiradimas paprastai siejamas su graikų kultūra. Kaip tik tada susiformavo pagrindinis matematikos bruožas – poreikis matematikos teiginius pagrįsti logiškai, t.y. teiginius įrodyti. Euklido (apie 365-300 pr.Kr.) ,,Pradmenyse“ yra daugybė matematinio įrodymo pavyzdžių. Tačiau ne visi ten esantys įrodymai atlaikė loginio pagrįstumo reikalavimus, kurie be paliovos evoliucionavo daugiau kaip du tūkstančius metų. Šiuolaikinius matematinio įrodymo griežtumo reikalavimus atitinkančią Euklido ,,Pradmenų“ versiją 1899 metais pasiūlė vokiečių matematikas D. Hilbertas (1862-1943).

Matematinis įrodymas yra ne tik objektyvaus tikrumo garantas. Įrodymas yra ir kūrybiškumo matematikoje  pasireiškimas. Pabandysime tai iliustruoti kitame paragrafe įrodydami, kad yra be galo daug pirminių skaičių. Pirminiu vadinamas toks natūralusis skaičius, kuris dalosi tik iš vieneto ir iš savęs. Pirminiais yra skaičiai 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ir t.t. Nėra kito būdo patikrinti, ar skaičius yra pirminis, kaip ieškoti visus galimus to skaičiaus daliklius. Jei skaičius nėra pirminis, tai jis būtinai yra pirminių skaičių rinkinio sandauga. Šis teiginys reiškia, kad pirminiai skaičiai sudaro lyg ir natūraliųjų skaičių skeletą ir vadinamas fundamentaliąja aritmetikos teorema.

Įrodysime, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Tarkime, kad taip nėra ir pirminių skaičių kiekis yra baigtinis, pavyzdžiui n. Tokiu atveju visus juos galima surikiuoti didėjimo tvarka ir sužymėti raidėmis Latex formula.  Šį visų pirminių skaičių rinkinį pavadinkime sąrašu S. Sudauginę tarpusavyje visus sąrašo S narius ir pridėję vienetą gauname naują skaičių

Latex formula

Skaičius N yra natūralusis ir didesnis už kiekvieną sąrašo S narį. Todėl N nėra pirminis. Tokiu atveju N dalosi be liekanos iš natūraliojo skaičiaus k, didesnio už vienetą ir mažesnio už N. Jei k yra pirminis, tai jis skiriasi nuo kiekvieno sąrašo S nario, kurie dalo N tik su liekana. Gauname prieštaravimą mūsų prielaidai, kad visi pirminiai skaičiai priklauso sąrašui S. Jei k nėra pirminis skaičius, tai jis dalosi iš kito natūraliojo skaičiaus m su tokiomis pat savybėmis: m yra pirminis ir tai yra prieštara, arba m nėra pirminis. Šis samprotavimas turi pabaigą, nes N dalo tik baigtinis natūraliųjų skaičių kiekis, t.y. šie samprotavimai galiausiai nurodo tokį pirminį skaičių, kuris nepriklauso sąrašui S. Todėl prielaida, kad pirminių skaičių kiekis yra baigtinis – neteisinga. Tai įrodo, kad pirminių skaičių yra be galo daug.

Šis įrodymas pagrįstas svarbia matematikos teiginio savybe: arba teiginys yra teisingas arba jis yra klaidingas. Parodžius, kad, teiginiui esant klaidingam, gaunama prieštara, tai teiginys teisingas. Matematinis samprotavimas reikalauja mąstymo pastangų ir ne iš karto yra suprantamas. Tačiau, kai supratimo pojūtis atsiranda, kartu su juo atsiranda nuostaba ir pasigėrėjimas. Čia pateiktame įrodyme svarbiausia yra skaičiaus N išraiška. Ši idėja verta pripažinti žmogaus protui turint aukščiausią kūrybiškumo galią. Manoma, kad įrodymo idėją pirmą kartą pasirodė Euklido Pradmenyse. Tai tik vienas gražaus įrodymo pavyzdys, atlaikęs dviejų su puse tūkstančio metų mąstymo kultūros vystymosi istoriją. Gražaus įrodymo pavyzdžių matematikoje yra daugybė. Kaip ir kitose veiklos srityse, matematikai kartais sudaro savo gražiausiais laikomų įrodymų ar teoremų dešimtukus. Euklido įrodymas dažniausiai būna tarp jų. Kaip ir kitose srityse, įvertinti matematinio įrodymo grožį, reikia bent minimalaus matematinio išsilavinimo.

Atskiri matematikos faktai formuoja abstraktaus pasaulio vaizdą. Pasaulio, kuriame pagrindinius akcentus išreiškia jau minėtos esminės žmogaus egzistavimą apibūdinančios kategorijos. Skaičiaus ir dydžio (magnitude) sąvokos atspindi diskretumo ir tolydumo sampratas. Graikų kultūroje skaičiumi buvo laikomi tik natūralieji skaičiai, naudojami skaičiuoti skirtingus objektus, o dydžiai išreiškė tai, kas pamatuojama – ilgį, plotą, laiką ir panašiai. Dydžiai atspindi tolydumo savybę: galimybę neribotai dalinti objektą jo neprarandant. Pavyzdžiui, matuojant atstumą mes visada galime įsivaizduoti pusę bet kokio turimo atstumo. Tuo tarpu diskretūs objektai, tokie kaip žmogus, jų dalinimas į kelias dalis neturi prasmės ir natūralieji skaičiai atspindi šią diskretumo savybę.

Skaičiaus ir dydžio sampratos evoliucionavo, kaip ir visa matematika. Tuo pačiu evoliucionavo diskretumo ir tolydumo sampratos. Šiuolaikinėje matematikoje dydis ir skaičius, iš esmės, yra tos pačios sąvokos. Tai rodo realiųjų skaičių ir geometrinės tiesės taškų tapatinimas, išreiškiamas abipus vienareikšme atitiktimi (funkcija). Šis tapatinimas yra prielaida, vadinama Cantoro-Dedekindo aksioma. Vokiečių matematikai G. Cantoras (1845-1918) ir R. Dedekindas (1831-1916) yra šiuolaikinės realiųjų skaičių sampratos autoriais. Pagal šią sampratą, realieji skaičiai yra tam tikrą struktūrą turinčios aibės elementais. Realiųjų skaičių aibė vadinama aritmetiniu kontinuumu; ji  atspindi diskretumo ir tolydumo sampratas. Tačiau, hiperealiųjų ir siurrealiųjų skaičių at(si)radimas pastaraisiais dešimtmečiais ir jų savybių tolesnis apmąstymas, gali keisti tradicinėmis tapusias matematikų pažiūras į diskretumo ir tolydumo santykį.   

Didžiausių supratimo pokyčių per pastaruosius kelis šimtmečius susilaukė begalybės kategorija. 17 amžiuje šiuos pokyčius motyvavo I. Newtono (1642-1727) ir G. Leibnizo (1646-1716) veikla, siekiant matematiškai apibūdinti judėjimą. Momentinės greičio ir pagreičio sampratos reikalavo veiksmų su be galo mažais dydžiais pagrindimo ir naudojimo. Nestandartinėje analizėje, be galo mažu dydžiu vadinamas teigiamas skaičius, kuris yra mažesnis už kiekvieną į nulį artėjančios skaičių sekos narį. Tokio skaičiaus nėra tarp realiųjų skaičių, nes be galo mažų dydžių egzistavimą draudžia realiųjų skaičių Archimedo savybė: kiekvienas teigiamas realusis skaičius yra mažesnis už kurį nors natūralųjį skaičių. Tačiau be galo mažas dydis yra tarp minėtųjų hiperrealiųjų skaičių. Šio fakto įrodymas žinomas daugiau kaip 50 metų, laikotarpis, reiškiantis tik akimirką matematikos istorijoje. Be galo mažo dydžio sėkmingo pagrindimo padariniai diskretumo ir tolydumo sampratoms bus matyti tik ateityje, gal būt netolimoje.

Minimi faktai apie realiuosius skaičius aptikti 19 amžiuje. Tuo pačiu metu paaiškėjo aibės sąvokos vertingumas tiriant begalybės kategoriją, bei pagrindžiant realiųjų skaičių sampratą, matematinę analizę, o vėliau ir visą matematiką. Kalbant apytiksliai, aibė yra toks matematinių objektų rinkinys, kuris pats yra matematiniu objektu. Aibė tampa problemiška, kai ji jungia be galo daug elementų. Tarkime, kad rinkinį X sudaro visos tos aibės, kurios nėra pačios savęs elementais. Ar rinkinys X yra aibė? Tarkime, kad X yra aibė. Jei X yra pačios savęs elementu, tai ji negali būti pačios savęs elementu, nes tokia savybe pasižymi rinkinio X elementai. Dėl tos pačios priežasties, jei X nėra pačios savęs elementu, tai ji privalo būti pačios savęs elementu. Tai yra prieštara įrodanti, kad rinkinys X nėra aibė. Objektas negali būti matematiniu, jei jis sukelia loginę prieštarą.

Šis pavyzdys rodo, kad ne bet kuris rinkinys gali būti aibe. Jis yra tik šiek tiek kitaip suformuluotas B. Russello (1872-1970) paradoksas, kuriuo buvo kvestionuojama G. Frege (1848-1925) pasiūlyta, sąvokomis grindžiama, skaičiaus sampratos konstrukcija. Paradoksas lygiai taip pat sėkmingai sugriovė G. Cantoro be jokių ribojimų naudotą aibės sąvoką. Išeitį iš šio sudužusių vilčių pragaro siūlė keletas matematikų. Laiko išbandymus iki šiol sėkmingai atlaikė fiziko ir matematiko E. Zermelo (1871-1953) pasiūlytoji aibės sąvoką apibrėžianti aksiomų sistema. Anot D. Hilberto, sėkmingas aibės sąvokos išgelbėjimas nuo prieštaringumo atidarė vartus matematikams į rojų iš kurio jų niekas negali išvaryti. Pagalba G. Frege konstrukcijai atėjo žymiai vėliau ir gerokai pavėluotai, nes per tą laiką matematikai priprato prie aibių.   

Dar iki persikraustymo į matematinį rojų, G. Cantoras aptiko, kad begalybė yra nepaprastai turtinga, bet žmogaus protu įveikiama sąvoka. Aibė yra begalinė, jei ji turi tokį mažesnį poaibį, kuris abipus vienareikšmiškai atvaizduojamas į visą aibę. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių rinkinys N yra aibė remiantis viena iš E. Zermelo aksiomų.  Aibėje N yra lyginių skaičių poaibis L, kuris yra aiškiai mažesnis už visą aibę N. Taisyklė, kuri lyginiam skaičiui 2n priskiria natūralųjį skaičių n, yra abipus vienareikšmė atitiktis tarp L ir N. Taigi, natūralieji skaičiai sudaro begalinę aibę. Kitaip tariant, aktualioji begalybė yra matematinis objektas.

Dvi aibės yra to paties dydžio, jei tarp jų egzistuoja abipus vienareikšmė atitiktis, t.y. jei šių aibių elementus galima suporuoti. Ar tarp visų begalinių aibių galima sukonstruoti abipus vienareikšmę atitiktį? Tokį klausimą sau formulavo G. Cantoras ir į jį atsakė neigiamai. Jis įrodė, kad tokios atitikties nėra tarp natūraliųjų skaičių aibės N ir visų realiųjų skaičių aibės R. Šis faktas rodo, kad yra mažiausiai dvi skirtingo dydžio  begalinės aibės. Galiausiai paaiškėjo, kad tokių skirtingo dydžio begalybių yra nepaprastai daug ir visos jos yra naujojo abstrakcijų pasaulio gyventojais.

Kitas klausimas: Ar tarp natūraliųjų skaičių aibės N ir realiųjų skaičių aibės R yra aibė, kurios dydis skirtųsi nuo abiejų aibių dydžių? Atsakymas į šį klausimą praturtintų mūsų suvokimą apie tolydumo kategoriją. Atsakymo į  savo paties klausimą nesėkmingos paieškos apkartino G. Cantoro gyvenimo pabaigą. Tik vėliau, K. Gödelio (1906-1978) ir P. Coheno  (1934-2007) darbų dėka paaiškėjo, kad turimos matematikos priemonės nėra pakankamos atsakyti į šį klausimą, kol kas.

Paminėta keletas matematikos objektų pasaulio bruožų. Pasaulio, kurį kaip dėlionę formuoja gausybė konkrečių matematikos aksiomų ir faktų. Šio abstrakcijų pasaulio tikrumas grindžiamas tik matematiniu įrodymu. Faktas yra teisingas arba ne, priklausomai nuo to, ar jis įrodomas, ar ne. Tokia veikla skiriasi nuo realaus pasaulio pažinimo, kuriame faktų teisingumas patvirtinamas arba ne, remiantis eksperimentu. Nepaisant to, matematikos sąvokos yra tarsi realaus (fizinio) pasaulio pažinimo akiniai. Pavyzdžiui, norėdami nurodyti kūno judėjimo trajektoriją naudojame trimatę Euklido erdvę, t.y. aibę realiųjų skaičių trejetų, kurie interpretuojami kaip erdvinės koordinatės. Kalbėti apie realiosios erdvės tašką reiškia jam priskirti realiųjų skaičių trejetą7. Tokio priskirimo pagrįstumas yra tik mūsų prielaida! Tą patį galima pasakyti apie laiką, kurio momentai tapatinami su realiųjų skaičių aibės elementais. Toks skaičių aritmetikos ir geometrinės erdvės tapatinimas remiasi jau minėtąja Cantoro-Dedekindo aksioma. Šia prasme realiame pasaulyje suvokiamas diskretumas ir tolydumas turi tik matematinės konstrukcijos savybes. Kaip keisis pasaulėvoka ir  realaus pasaulio pažinimas jei ši ar kitos matematikos prielaidos bus matematikų pakeistos? Klausimas retorinis, kol kas.

Svarbiausia matematikos, kaip abstrakcijų pasaulio pažinimo, savybė yra jos vystymosi laisvė ribojama tik neprieštaringumu logikai ir anksčiau atskleistiems faktams8. Matematikos idėjų aiškinimas gali tęstis be galo. Bet norisi kuo greičiau perteikti abstrakčiosios dėlionės bendrą vaizdą. Manau, kad keletas toliau cituojamų labai skirtingų matematikų patirčių apie matematiką padės greičiau atskleisti nepaprastai turtingo pasaulio kontūrus.

Dar 1925 metais rašytą matematikos apžvalgą9 mąstymo istorijos kontekste anglų matematikas A.N. Whiteheadas pradeda taip: ,,Galima teigti, kad šiuolaikinė grynoji matematika yra originaliausias žmogaus dvasios kūrinys. Kitas pretendentas į šį apibūdinimą yra muzika“. Tarsi paaiškindamas šį teiginį, jis tęsia: ,,Matematikos originalumą rodo faktas, jog jos atskleidžiami ryšiai tarp objektų yra visiškai neakivaizdūs. Dabarties matematikų idėjos yra labai toli nuo to, ką galima suvokti pojūčiais; išskyrus tuos atvejus, kai pojūčiai remiasi ankstesnėmis matematikos žiniomis.“

Šiek tiek vėliau amerikiečių matematikas R.L. Wilderis savo knygoje10 apie matematikos pagrindus pastebi: ,,Daugelis matematikų, tarp kitko, matematiką laiko menu [...]“. Toliau jis rašo: ,,Mūsų nuomone, tapyboje, keramikoje, muzikoje ir kitose meno srityse sutinkamų formų abstrahavimas jau tampa matematine veikla.  Netgi šiais laikais, joks [matematikos] apibrėžimas nėra pakankamai tikslus atriboti tarpines sritis. Neįmanoma absoliučiai tiksliai nurodyti, kur baigiasi matematika ir prasideda menas, ar fizika, ar …“    

Rusų matematikas ir lingvistas V. Uspenskis teigia, kad matematika yra humanitarinis mokslas. Jis ne tik teigia, bet ir pagrindžia šį teiginį savo knygoje11, už kurią 2010 metais buvo apdovanotas Rusijos mokslo populiarinimo literatūros premija. Mūsų visuomenėje matematikos ir humanitarikos lyginimas skamba kaip oksimoronas, nes neabejojama, kad humanitarika yra mūsų žinios apie žmogų ir kultūrą. Tai gal mūsų žinios apie matematiką yra netikslios.

Visiškai kitokį požiūrį apie matematiką grindžia  Massachusettso technologijos instituto, JAV, fizikas M. Tegmarkas. Savo labai populiarioje knygoje12  jis teigia, kad pasaulis ne tik aprašomas matematika, bet mūsų visata tiesiog yra matematinė struktūra. Tai yra radikali matematinio platonizmo forma. Šiaip jau platonistais matematikos objektų atžvilgiu yra matematikai.

Nėra dominuojančio požiūrio apie tai, kas yra matematikos esmė. Matematika turi daugybę bruožų, kurių ignoravimas daro pasaulėvoką primityvia.  Bet tai būdinga daugeliui kultūros reiškinių.

Matematika kaip kultūros reiškinys

Atrodytų, matematika yra rinkinys faktų nepriklausančių nuo laiko ir vietos. Du plius du visur ir visada yra keturi. Pitagoro teorema visur ir visada suprantama vienodai. Manoma, kad matematikos rezultatams neturi įtakos nei tautinė priklausomybė, nei visuomenės istorinė patirtis. Todėl matematikos siejimas su kultūra atrodytų keistas; paprastai su kultūra mes siejame meną, religiją, filosofiją, mokslą (science). Kultūros ir matematikos priešpastatymas nėra svetimas  ir matematikams.

Požiūris į matematiką, kaip į kultūriškai sterilų reiškinį yra perdėm paviršutiniškas. Šiam požiūriui prieštarauja faktas, kad skirtingos matematikos mokyklos vysto skirtingas matematikos sritis. Pavyzdžiui, 20 amžiaus pradžioje geometrija dominavo Italijoje, funkcijų teorija – Prancūzijoje, matematikos pagrindai – Vokietijoje ir panašiai. Pasaulio dvasinėje kultūroje matematika yra jos dalis, siejanti meną ir mokslą (science). Tai vienas iš tų faktų, kurių supratimui reikalingas ir platesnis ir gilesnis požiūris.  Apie matematiką kaip dvasinės kultūros reiškinį rašė O. Spengleris13 (1880-1936), L.A. Whiteas14 (1900-1975),  R.L. Wilderis15(1896-1982) ir kiti.

Adekvatų požiūrį į matematiką galima pastebėti Lenkijos kultūroje. Po pirmojo pasaulinio karo, lenkams priešinantis germanizacijai ir rusifikacijai, bei siekiant tarptautinio Lenkijos pripažinimo, matematikui Z. Janisewskiui (1888-1920) kilo mintis pasinaudoti matematikos autoritetu. Savo 1918 metų straipsnyje16 jis suformulavo lenkų matematikų bendruomenei tikslą ,,tapti reikšmingais ir nepriklausomais“. Siekiant šio tikslo, Janiszewskis pasiūlė tuo metu originalią bet rizikingą idėją įsteigti pirmąjį pasaulyje specializuotą matematikos žurnalą. Jis tikėjo Lenkijos politine sėkme grindžiama matematikų specializacija tuo metu dar naujose aibių teorijos ir funkcinės analizės srityse. Ši idėja buvo sėkmingai įgyvendinta naujo žurnalo Fundamenta Mathematicae pirmąjį numerį išleidžiant 1920 metais. Janiszewskio pasiūlymas gimė ne tuščioje vietoje. Tuo metu savo veiklą aktyvino Lvovo ir naujai besikurianti Varšuvos matematikų mokyklos17. Šiose mokyklose sėkmingai susijungė filosofija, logika ir matematika, neabejotinai veikdamos viena kitą (B. Smyth. Why Polish philosophy does not exist).   

Janiszewskio lūkesčiai visiškai pasiteisino. Lenkų matematika tapo pripažinta pasaulyje. Tai galėjo turėti įtakos ir jos politiniam pripažinimui. Bet lenkų matematikų bendruomenės sėkmę nutraukė antrasis pasaulinis karas, kurio metu žuvo daugiau kaip pusė lenkų matematikų. Po šio smūgio ir po devintame praeito amžiaus dešimtmetyje vykusios lenkų matematikų emigracijos bangos, lenkams sunkiai sekasi atsigauti. Bet tarpukario lenkų matematikų bendruomenės sėkmė yra puikus matematikos vaidmens kultūroje panaudojimo pavyzdys.

Lenkų pavyzdys rodo matematikos, kaip kultūros elemento, tarptautiškumo bruožo reikšmingumą lyginant su kitais kultūros elementais. Tai reiškia, kad nacionalinė kultūra, kurioje išplėtota matematikų veikla, pasaulyje matoma ryškiau nei kultūra, kurioje plėtojami  kiti jos elementai. Švedų matematikas Ch. Kiselmanas  rašydamas apie kultūrinį matematikos reikšmingumą, kartu su tarptautiškumu, išskyrė keturias matematikos savybes:

  •  tarptautiškumas;
  •  grožis;
  •  įtaka mūsų pasaulėžiūrai;
  •  įtaka mūsų mąstymui ir pasitikėjimas mąstymu.

Grožis matematikoje yra esminė savybė, pasireiškianti įvairiais aspektais. Matyt svarbiausias grožio vaidmuo yra rėmimasis juo, kai neaišku kur ir ką rinktis matematinėse paieškose. Jei gaunamas rezultatas jums nekelia emocijų, tai greičiausiai pasirinktas klaidingas paieškos kelias. Jei prieš jūsų sąmonės akis atsiveria nuostabus pasaulis, o per nugara nusirita jaudinantis virpulys, tai neabejotinai prisiliesta prie Tiesos. Gal būt panašūs jausmai atsiranda ir gamtos tyrimuose ir grožio jausmas taip pat gali būti kelrodžiu. Bet grynojoje matematikoje grožis dažnai yra vienintelis pasirinkimo kriterijus, nes matematikos tiesa nieko nesako apie realaus pasaulio tiesą.

Egzistuoja daugybė matematikų liudijimų apie grožio svarbą jų veikloje. Rečiau tai galima išgirsti iš tiesiogiai su matematine veikla nesusijusios patirties liudytojų. Nobelio premijos laureatas fizikas P. Diracas (1902-1984), aplinkinių laikytas keistu žmogumi, savo atradimus fizikoje atliko iš esmės siekdamas elegantiškos ir paprastos matematinės išraiškos. Matematikos grožį fizikoje jis apibūdino taip

[Matematinių samprotavimų sėkmė fizikoje] gali būti paaiškinama tam tikromis Gamtos matematinėmis savybėmis, kurių nepastebi atsitiktinis stebėtojas, bet kurios užima svarbią vietą Gamtos paveiksle.   

Nepaisant to, kad reliatyvumo teorija nedera su paprastumo principo laikymusi, ji vis dėlto priimtina fizikui dėl savo nuostabaus matematinio grožio. Tai yra nepaaiškinama savybė, panašiai kaip grožis nėra paaiškinamas mene, bet grožio pripažinimas matematikoje nekelia jokių problemų žmonėms, kurie dirba matematikoje. Kartu su reliatyvumo teorija matematinis grožis su nepaprastu gilumu persikėlė į Gamtos aprašymą.

Matematikos grožio suvokimas galimas ne tik matematikos kūrėjams, bet ir bandantiems pažinti matematiką. Paprastai grožio suvokimas matematikoje atsiranda tada, kai supranti įrodymo idėją. Gražios įrodymo idėjos pavyzdys yra anksčiau išdėstytas Euklido įrodymas, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Kasdieninėje matematiko veikloje retai susiduriama su naujomis gražiomis idėjomis ir įrodymais. Taip gali būti todėl, kad daugumą faktų galima įrodyti žinomais metodais. Kaip ir kiekvienoje žmogaus veikloje, neišskiriant ir profesionalųjį meną, matematikoje yra visko – ir kūrybiškumo, ir amatininkiškumo. 

Greta atskirų teoremų, formulių ir jų įrodymų, harmonijos suvokimas lydi daugumą matematikos teorijų. Jei matematiką laikyti meno forma, tai ji yra kolektyvinio meno pavyzdys. Neaišku su kokia kita meno forma šis matematikos aspektas galėtų konkuruoti. Gal būt matematika labiausiai panaši į muziką, kaip teigė anksčiau cituotas A.N. Whiteheadas. Matematikos ir muzikos panašumą siekia paaiškinti savo knygoje Emblems of Mind18 matematinį išsilavinimą turintis kritikas ir kompozitiorius E. Rothsteinas. Jo nuomone, ir matematika ir muzika suteikia galimybę suvokti, ,,nepriklausomai nuo žmogaus pojūčių ir interpretacijų egzistuojantį,  pasaulį, kuriame gyvena esmės, būties ir tiesos idėjos“.

Dažnam skaitytojui šie samprotavimai gali gerokai prieštarauti jo mokykliniam matematikos patyrimui. Bet ši aplinkybė paaiškinama mūsų švietimo sistemos tikslų ir motyvacijos pasirinkimo pasekmėmis. Mes kažkodėl manome, kad matematikos naudingumas kasdieninėje veikloje suteiks didesnę motyvaciją mokytis matematikos, negu matematikos grožis. Bet ne visi taip mano. N. Sinclair savo knygoje Mathematics and Beauty19 dalinasi patirtimi, įgyta bandant praturtinti matematinį ugdymą priemonėmis, kurios skatina estetinį matematikos suvokimą.

Tiems, kas vis tiek abejoja matematikos suderinamumu su grožiu, gali padėti pakeisti savo nuomonę šių metų vasario mėnesį paskelbti britų mokslininkų grupės tyrimų rezultatai. Du neurobiologai, fizikas ir matematikas ieškojo matematinio grožio pajautimo pėdsakų žmogaus galvos smegenyse. Norėdami aptikti smegenų veiklos aktyvumą stebint matematinį grožį jie pasitelkė funkcinį magnetinį rezonansą. Tyrimai buvo atliekami su 16 matematikų jiems rodant 60 įvairiausių matematikos formulių ir prašant įvertinti kiekvieną iš jų grožio aspektu: graži, šiaip sau ar bjauri formulė. Buvo nustatyta, kad į formulių vaizdus reagavo ta pati smegenų vieta, kuri ankstesnių tyrimų buvo nustatyta esanti atsakinga už grožio pajautimą stebint klasikinius meno kūrinius. Tyrimas pilnai patvirtino, kad intuityvus, grožiu vadinamas, matematikų vertinimas sutampa su pojūčiais, kuriuos sukelia įprasti meno kūriniai.

Daugumos tiriamųjų gražiausia formule buvo nurodyta Eulerio tapatybė

 Latex formula

Ši išraiška sieja penkis skaičius: nulį, vienetą, du iracionaliuosius skaičius e ir Latex formula, bei menamąjį vienetą i. Formulėje taip pat naudojamos trys pagrindinės aritmetikos operacijos: sudėtis, daugyba ir laipsnis. Eulerio tapatybe išreiškiamas labai skirtingų dydžių junginys kelia estetinį pojūtį.

Šiomis pastabomis bandome įtikinti skaitytoją matematikos artumu menui. Matyt daug mažiau įtikinėjimų reikalautų noras parodyti matematikos artumą mokslui (science). Tačiau, neretai ryšys tarp matematikos ir mokslo suprantamas gerokai paviršutiniškai. Dažniausiai matematikos sąvokos ir metodai yra naudojami apibūdinti vieną ar kitą supaprastintą realiosios tikrovės reiškinį, vadinant tai matematiniu modeliavimu. Tokie modeliai naudojami numatyti reiškinio elgseną naujomis aplinkybių ar laiko sąlygomis. Žemės paviršiaus klimato modeliavimas yra tipiškas pavyzdys.

Matematinių modelių kūrimas gali turėti skirtingus tikslus. Vienais atvejais parenkamas toks modelis, kuris gali būti naudojamas atsakyti į konkrečius klausimus. Pavyzdžiui, koks bus rytoj oras? Paprastai tam pakanka gebėti skaičiais įvertinti nežinomus parametrus diferencialinėje lygtyje, kuria nusakomas dominantis reiškinys. Kitais atvejais siekiama suprasti tiriamąjį reiškinį ir tam ieškomos naujos matematinės išraiškos priemonės ir metodai. Pastaraisiais atvejais matematikos taikymas tampa grynosios matematikos tyrimo tąsa, reikalaujanti naujų matematinių idėjų, sąvokų ir objektų. Be abejonės tokiai veiklai reikalinga aukščiausia matematinė kvalifikacija. Sprendžiant tokios rūšies uždavinius neretai tenka pasitelkti matematinio grožio pojūčiu.

Be tiesioginės naudos mokslui, šiais laikais matematika tapo labai svarbi dar vienu aspektu – žmogaus mąstymo gebėjimų srityje. Viena yra žinoti ir mokėti naudoti jau žinomus kurios nors veiklos srities metodus. Antra yra gebėti kurti naujus metodus, kuriais siekiama pažinti ir kontroliuoti naują reiškinį. Tokio pobūdžio gebėjimų vis labiau reikia šiais laikais ir ateityje poreikis tik didės. Tokie gebėjimai reiškia kritiškumą ir kūrybiškumą, kurių ugdymui efektyviausia priemonė yra matematika. Abstrakcijų pasaulis yra kaip tik ta treniruočių aikštelė, kurioje įmanoma išskirti ir tirti esmines nepažįstamo objekto ar reiškinio savybes.       

Čia aptariamų gebėjimų skirtumą galima iliustruoti  pasitelkus psichologų naudojamą ir visuomenėje populiarų mąstymo skirstymą į du tipus: konverguojantį mąstymą ir diverguojantį mąstymą.  Konverguojantis mąstymas reiškia gebėjimą iš turimų žinių susirasti ir panaudoti vienintelį tinkamą metodą sprendžiant duotą problemą. Toks mąstymas ugdomas sprendžiant pasirenkamojo atsakymo užduotis, dažnai naudojamas vertinant mokinių matematinį raštingumą. Diverguojantis mąstymas duotą problemą bando spręsti bandydamas ją įvairiai interpretuoti ir rasti kuo daugiau sprendimo būdų. Diverguojantis mąstymas reikalauja kūrybiškumo. Šio tipo mąstymui ugdyti matematikoje reikia gerokai praplėsti sprendžiamų užduočių tipus, bei remtis sąvokiniu ir abstraktaus mąstymo ugdymu.  

Matematika Lietuvoje

Jei ši apžvalga dar neįtikino, kad matematika nėra Lietuvos dvasinės kultūros dalimi, tai galima grįžti prie menų ir tiksliųjų mokslų panoramos matomos diskusijoje, kuri įvyko prieš naujuosius metus Lietuvos mokslų akademijoje. Pacituosiu dar vieną literatūrologės V. Daujotytės diskusijoje skaityto teksto20 dalį:

Formulė – tai nekintama, nekeičiama taisyklė. Formulės lygmeniu juntame humanistikos ir gamtos mokslų sąlytį, jei ir ne sanglaudą. Matematikos formulė – kokio nors matematinio teiginio simbolinis užrašymas skaičiais, raidėmis ir ženklais. Chemijos formulė – kokio nors cheminio elemento ar junginio sudėties ir sandaros žymėjimas cheminiais simboliais. Nekintanti formulė. Gamtos, tikslieji mokslai remiasi nekintamais dydžiais, apibrėžtais objektais, bet kartu ir formomis. Kas yra vanduo? Juk tai gyvų gyviausia forma, kai jį matome, lytime, keliame prie lūpų ar į jį pasineriame. Biologas ar chemikas gali jausti tą vandens formos gyvumą, takumą, bet jo sąmonė ieško formulių, jomis remiasi ir pasitiki. Bet vos ištariame pasitiki, ir iš pirmo žvilgsnio tvirta kaip geležis formulė atsiduria bendrajame žmogaus pasaulyje, kur daug kas paremta tikėjimu ir pasitikėjimu, H2O galioja, kol galioja sąlygos deguoniui ir vandeniliui, kol tikime, kad tos sąlygos yra ir bus. Kol formulės gali galioti, mokslas stengsis gyvąsias formas formalizuoti, kad galėtų išreikšti formulėmis. Gerai suvokiame, kad technologinė pažanga (ar pažanga) remiasi formulėmis, kuo labiau viskas formalizuota, tuo daugiau ir suprogramuota. Bet kuo forma gyvesnė, tuo sunkiau ją formalizuoti, paversti formule. Pavyzdžiui, kaip sunkiai stumiasi į priekį mašininis, techninis vertimas – kalba tokia gyva, tokie neprognozuojami jos judesiai, tokie įvairūs kontekstai, kad formalizavimai ir formulizavimai įstengia apimti tik paviršinius dalykus. 

 Apibendrintai galima sakyti, kad kūryba, iš esmės ir humanistika, net susidurdama su formulėmis, siekia išlaikyti formos gyvybę, o tikslieji mokslai, technologijos atvirkščiai – kiekvieną, kad ir pačią gyviausią formą suvokia kaip potencialą formulę. Iš čia ir įtampa – esama ar galima – tarp formos ir formulės.

Požiūris, kad tiksliųjų mokslų, o tuo pačiu ir matematikos, siekiamybė yra nekintanti formulė, panašus į požiūrį, kuriuo literatūros siekiamybe yra žodis, arba muzikos siekiamybe yra natos. Formulė matematikoje, kaip ir žodis literatūroje, yra tik priemonė reikšti idėjas. Puiki priemonė, nes be jos, naudojant tik kasdieninę kalbą, tektų rašyti ištisus puslapius, kuriuose paskęstų prasmė.  Trumpa formule įmanoma išreikšti stebėtinai daug turinio. Kompaktiška išraiškos forma įgalina užčiuopti naują kokybę. Panašiai kaip tapytojui paveikslas suteikia galimybę pasakyti daugiau už matomą vaizdą. Formulė matematikoje prasminga tiek, kiek suprantama tai, kas ja reiškiama. Anksčiau minėtame matematinio grožio tyrime pastebėta, kad Eulerio tapatybė nesukėlė emocijų tiems, kas jos nesupranta. Bet priemonė nėra tas pats, kas tikslas, kurį bandėme atskleisti trumpoje matematikos apžvalgoje.

Ar praeityje matematika turėjo savo vietą Lietuvos dvasinėje kultūroje?  Matematikas J. Kubilius (1921-2011), rašydamas21 apie matematikos atsiradimą Lietuvos mokslų akademijoje, teigia, kad originalių matematikos mokslo darbų nebūta, bent jau iki Vilniaus universiteto uždarymo 1832 m.  ,,[T]arpukario Lietuvoje mokslinio kūrybinio darbo iš matematikos tebuvo tik užuomazgos.“ – teigia J. Kubilius ir tęsia: ,,Mokslinis darbas prasidėjo tik su nauja matematikų karta, jau po Antrojo pasaulinio karo.“ Bet mokslinis darbas, paprastai sietinas su matematikų bendruomene, yra matematikos subkultūros egzistavimo požymis. Mus domina matematinės veiklos ir kultūros sąveika.

Matematikos siejimas su kultūra Lietuvoje išklausomas su nemaža nuostaba ir nepasitikėjimu. Mūsuose labiau paplitęs tradicinis požiūris, kad matematika yra pasaulio pažinimo instrumentas ir formulių kalba, neturinti savo turinio. Dažnai manoma, kad matematika yra antikos laikų žinios apie skaičius ir geometrines figūras. Toks požiūris į matematiką sutinkamas kituose mūsų dvasinės kultūros elementuose, pavyzdžiui, filosofijoje. Kas tokio įvyko arba neįvyko Lietuvoje per pastaruosius dešimtmečius, dėl ko matematika vis dar nėra mūsų dvasinės kultūros panoramos dalimi?

Remiuosi filosofo A. Sverdiolo sudėliotais dabartinės lietuvių kultūros bendraisiais bruožais. Jo teigimu22, mūsų kultūrinę situaciją apibūdina rėčio metafora, išreiškianti tam tikro pobūdžio filtrą esantį tarp mūsų ir likusio pasaulio. Nors ir tapome politiškai laisvais, bet esame vis dar veikiami sovietinio laikotarpio uždarosios kultūrinės aplinkos, kurią filosofas apibūdina kolbos metafora. Aiškiausiai matomas rėčio efektas pasireiškia kitų kalbų žinojime ir naudojime; rusų kalba vis mažiau suprantama, o anglų kalba vis dar nepakankamai suprantama. Verstinė literatūra niekaip negali užpildyti atsivėrusios kultūrinės tuštumos.

Matematinė literatūra, šiuo atžvilgiu, yra žymiai blogesnėje padėtyje, nei humanitarikai skirta literatūra. Per pastaruosius kelis dešimtmečius, be kelių bendro pobūdžio su matematika  susijusių verstinių veikalų (vienas iš jų anksčiau minėta G. Ifraho knyga), turime tik vadovėlių ir kitos mokomosios medžiagos atsitiktinius vertimus. Neturime nei vieno vertimo iš daugybės, tūkstančiais skaičiuojamų, anglų kalba parašytų knygų, skirtų matematikos pagrindams, matematikos filosofijai, matematikos istorijai ir matematikos mokymui. Rėčio dėka, Lietuvoje tokia literatūra, iš principo, paskaitoma tik matematikos profesionalų.

Bet ir mokomoji matematinė literatūra išseko. 2012 metais išleistame ir matematikai skirtame vadovėlyje23 fizikas A. Matulis rašo:

Vis dažniau man rašo laiškus mokiniai ir klausia, kaip jiems pradėti mokytis fizikos. Aš jiems atsakau, kad prieš pradedant mokytis fizikos būtų gerai išmokti aukštosios matematikos. Tada jie klausia, kokias reikia skaityti knygas, kad išmoktų matematikos. Čia aš jiems niekuo negaliu padėti. Visos knygos apie matematiką, kurios man patinka, parašytos arba rusiškai, arba angliškai. O jie dažniausiai rusų kalbą moka labai silpnai arba jos visai nemoka. O angliškos knygos labai brangios. Todėl nieko kito man nebeliko, kaip tik pačiam parašyti knygą apie aukštąją matematiką, o tiksliau apie matematiką, kurią išmokęs mokinys galėtų pradėti mokytis fizikos.

Knyga skiriama jaunimui – mokiniams ir studentams, skatinant juos rinktis mokslininko kelią. Atrodytų puiku, gal būt fizikai geriau už matematikus žino kokios matematikos reikia šių dienų fizikui teoretikui. Pavarčius knygą, tenka nusivilti. Turinys ir aiškinimo stilius nesiskiria nuo to, koks buvo prieš šimtą ir daugiau metų matematikos knygose skirtose inžinieriams ir tokio pat senumo mokykliniuose matematikos vadovėliuose.

A. Matulio vadovėlyje apie aukštąją matematiką svarbiausios sąvokos (riba, išvestinė, integralas ir t.t.) nėra apibrėžiamos, kaip įprasta ir šiandieninėje mokykloje. Pavyzdžiui, funkcijos riba aiškinama piešiniu ir intuityviu kalbėjimu apie indeksų ,,ėjimą į begalybę“ bei atitinkamų ,,taškų artėjimą“. Geometrinį funkcijos išvestinės aiškinimą papildo tradicinės nuorodos į ,,nykstamai mažus“ prieauglius ir į L. Kerolo knygą ,,Alisa Stebuklų šalyje“. Šiuos aiškinimus paįvairina ironija skirta matematikų naudojamam samprotavimų loginiam tikslumui. Pasakojimų turinys apibūdinamas taip: ,,Aukštosios matematikos sritis, kurioje rašomos formulės, vadinama matematine analize, o įvairių geometrinių objektų vaizdavimas formulėmis – analizine geometrija“. Šis apibūdinimas panašus į tokį: meno sritis,  kurioje rašomos natos, vadinama muzika. Vadovėlio pabaigoje autorius rekomenduoja skaitytojui imtis kitos matematikai skirtos jo knygos ir baigia žodžiais: ,,Išsprendę visus ten pateiktus uždavinius, jūs iš tikrųjų tapsite kvalifikuotu fiziku teoretiku“. Manau, verta būti nuosekliam ir šį teiginį taip pat suprasti kaip ironiją.

A.Matulio ,,Pasakojimai apie aukštąją matematiką“ yra tradicinio požiūrio į matematiką pavyzdys, kuris perduodamas iš kartos į kartą. Pagal šį požiūrį, matematika yra pasaulio pažinimo instrumentas, kurio esmė yra skaičiavimo procedūros ir technika, įsisavinama atliekant pakankamą kiekį uždavinių. Abstrakčių šiuolaikinės matematikos objektų ir jų struktūrų šis požiūris nepripažįsta. Bet, norint neatsilikti nuo mados, kartais tenka pacituoti šiuolaikinės matematikos rezultatus. Tokiais atvejais matematikos teiginiai interpretuojami savaip, kaip kam patinka.

Dažniausiai matematika iškraipoma, kai bandoma remtis K. Gödelio teoremomis apie konkrečias prielaidas tenkinančias formalias matematikos sistemas: (a) jei sistema neprieštaringa, tai joje yra teisingų bet neįrodomų teiginių; ir (b) sistemos neprieštaringumas nėra įrodomas vidinėmis tos sistemos priemonėmis. Sistema yra neprieštaringa, jei joje neįmanoma įrodyti tokių dviejų teiginių, kurių vienas prieštarauja kitam. Sistemos, kuri tenkina Gödelio teoremos prielaidas, pavyzdžiu yra Peano aksiomas tenkinanti aritmetika. 

Matematikos esmės nesupratimas rodomas tada, kai teoremos taikomos nekreipiant dėmesio į jų prielaidas, arba taikomos ne matematikos objektams. Toliau cituojamame veikale24 apie gamtos pažinimą, Gödelio teoremos interpretuojamos savaip:

Matematinės logikos autoritetas Giodelis, paskelbęs ketvirtojo XX a.dešimtmečio pradžioje dvi nepakankamumo (neišbaigtumo) teoremas, inicijavo įspūdingą poveikį elitinei mokslininkų ir filosofų grupei. Teoremos paskelbė: a) tuomet, kai tiriama sistema yra neprieštaringa (nuosekli, logiška), ji yra neišbaigta; b) neprieštaringumo aksiomų negalima įrodyti neperžengiant formalios sistemos. Pats Giodelis, supratęs, kad jo analizės, siekiančios išsiaiškinti matematikos pagrįstumą, rezultatai atveria didesnes interpretacijų galimybes, tęsė teoremų taikomumo tyrimus. Ir tikrai, jis ir ypač kiti mokslininkai atskleidė Giodelio teiginių universalumą, jų įtaką naujam teorinio mąstymo posūkiui. Kaip jau minėta, Giodelis įrodė, kad neįmanoma teoriškai sukurti absoliučiai pagrįstos sistemos (teorijos), neturinčios bent menkiausio prieštaravimo. (Sic!)

Cituojami teiginiai yra dalis J.A. Krikštopaičio pamąstymų apie mokslo pagrindus, o visas knygos turinys atspindi jos autoriaus paskaitų, skaitytų 1991-2008 m. Lietuvos universitetų magistrantams ir doktorantams, medžiagą. Šis ir kiti pavyzdžiai verčia permąstyti mūsų matematinio švietimo sistemą ir turinį.

Matematikos kaip kultūros reiškinio plėtra visuomenėje priklauso nuo bendrajam ugdymui keliamų tikslų. Kokie šie tikslai yra dabar ir kokie jie buvo netolimoje praeityje? 1928 metais vykusioje pirmojoje matematikos ir fizikos mokytojų konferencijoje matematinio ugdymo tikslus apibūdino matematikas Z. Žemaitis (1884-1969). Jis rašė25:

Kalbant arba rašant [apie matematikos programą aukštesniosiose mokyklose], priderėtų pirmiausia plačiau nušviesti, panagrinėti ir pakritikuoti arba pamatuoti tos vedamosios idėjos, tie tikslai kuriais matematika įdėta į aukštesniųjų mokyklų mokomuosius planus. Reikėtų susitarti, ar statytinas pirmon vieton grynai formalinis tikslas – mokinių proto pajėgų ugdymas ir miklinimas, ar daugiau yra siektini materialiniai, utilitariniai tikslai – matematikos pritaikymai kitiems mokslams ir gyvenimui.

[....] Pedagoginėje literatūroje ir gyvenime pedagogai ilgai ginčijosi dėl matematikos dėstymo tikslų. Šie ginčai ėjo drauge su bendresniais ginčais tarp formališkai humanistiškojo ir reališkai matematiškojo auklėjimo šalininkų. Nuomonių skirtumai neišnyko iki šio laiko, tačiau matematikos atžvilgiu vis dėlto prieita maždaug ligi bendros nuomonės, būtent tos, kad matematikos dėstymas aukštesniojoje mokykloje turi siekti abiejų pagrindinių tikslų, formalinio ir materialinio. Vadinasi matematikos dėstymas turi: a) padėti mokinio proto pajėgoms augti, t.y. pratinti mokinius sudaryti aiškias sąvokas, tiksliai reikšti jas žodžiais, daryti iš jų nuosakias išvadas, mokėti jas kontroliuoti, ir b) pratinti mokinį teisingai, gerai suprasti ir matematiškai formuluoti kitų tiksliųjų mokslų aiškinamus dalykus ir padėti mokiniui spręsti praktinius, realinio gyvenimo klausimus, kiek jie yra reikalingi matematinių žinių. (citatos pabaiga, kalba netaisyta) 

Kitais žodžiais tariant, pirmasis tikslas – ugdyti mokinio samprotavimų loginį tikslumą, kuris reiškia: tikslų sąvokų apibrėžimą; kiekvieno teiginio teisingumas paaiškinamas; tarp sąvokų ir procedūrų egzistuoja loginė tvarka, vadinama hierarchine struktūra. Antrasis tikslas – ugdyti gebėjimą naudoti tas matematikos žinias, kurios reikalingos kitiems mokslams ir realiame gyvenime.

Dabartinės matematikos bendrojo ugdymo programos ,,tikslas – sudaryti galimybę mokiniams plėtoti matematinę kompetenciją, t.y. gebėjimus ir nuostatas, pažinti pasaulį, aprašyti jį matematiniais modeliais, taikyti matematinius metodus sprendžiant praktines ir teorines įvairių mokslo sričių problemas“. Šis tikslas grindžiamas požiūriu į matematiką, kaip pasaulio pažinimo instrumentą. Požiūriu, kuris radikaliai skiriasi nuo to, kurį pateikėme šioje apžvalgoje. Kita vertus, šis tikslas neskatina ir nesuteikia priemonių ugdyti mokinio diverguojantį mąstymą, paminėtą praeitame skyrelyje.

Dabarties sąlygos gerokai pasikeitė nuo tų, kurias turėjome Lietuvoje prieš beveik šimtą metų, kai Žemaitis formulavo matematinio ugdymo tikslus. Pagrindiniais naujų sąlygų bruožais yra vis greitėjanti visuomenės kaita ir vis greičiau senstantys mūsų gebėjimai.  Tokiomis sąlygomis matematinis mąstymas tampa didžiausia vertybe, įgalinantis spręsti tas problemas, kurios ne tik neturi sprendimo metodų, bet ir nėra  aiškiai suformuluotos.  Tokiam matematiniam mąstymui ugdyti nepakanka įsisavinti matematikos procedūras ir taisykles. Tam reikia matematikos sąvokų ir jų ryšių supratimo. Todėl tarpukario Lietuvoje numatyti ugdymo tikslai tapo dar svarbesniais šiandien.

Šiandien mokydami matematikos mokykloje mes turėtume siekti: (a) ugdyti samprotavimų loginį tikslumą; (b) ugdyti gebėjimą naudoti matematiką sprendžiant praktines ir kitų mokslų problemas; (c) sudaryti šiuolaikinės matematikos bendrą vaizdą jos istorinio vystymosi kontekste.

Šių tikslų įgyvendinimas reikalauja lankstumo, išminties ir politinės valios. Viso to reikia tam, kad į mokyklas gražinti loginiu tikslumu grindžiamą samprotavimą. Atrodo, kad jo išgyvendinimo imtasi kaip ,,bereikalingo formalizmo“ prieš dešimtmetį ir daugiau. Pasekmė – nebėra priemonių leidžiančių paaiškinti ir suprasti matematikos faktus ir procedūras. Matyt susigriebta perlenkus lazdą ir kaip kompensacija dabar logikos mokymasis siūlomas 11-12 klasėse akademinių polinkių mokiniams, siekiantiems gilesnių matematikos žinių, bet tik kaip pasirenkamasis modulis ,,Logikos įvadas“. Taigi, dabar ,,matematikos“ mokoma atskirai nuo logikos. Kaip jums patiktų barščiais vadinami burokėliai pateikiami be vandens ir druskos, juos pasiūlant baigiantis pietums? Tokiu būdu mes ugdome savo bendrapiliečių loginį neįgalumą. 

Taip pat atsisakyta sustiprinto matematikos mokymo daliai pajėgių mokinių. Dabar einama tuo pačiu keliu toliau ir agituojama atsisakyti mokyklose ,,kalimo“, suprask mokymosi mintinai. Ignoruojama tai, kad dalis mąstymo proceso atliekama žmogaus pasąmonės lygmenyje.  Vietoje ,,kalimo“ ugdomas ,,kūrybiškumas“.  Kokių dar sukrėtimų reikia visuomenėje, kad nustoti eksperimentuoti su žmonėmis ugdant, gražiai skambančias, bet žiniomis neparemtas, ir todėl primityvias kompetencijas.

Reikėtų peržiūrėti kai kurias įprastomis tapusias bendro pobūdžio nuostatas ir gal būt jų atsisakyti. Keista, kai mokiniai turi rinktis kokius dalykus atsisakyti toliau mokytis jiems dar nebaigus bendrojo lavinimosi. Mokiniai renkasi tarp jiems nepažįstamų ir nesuprantamų alternatyvų, jei renkasi patys. Esant dabartinei tvarkai, humanitarinius polinkius manantys turį mokiniai tikėtina atsisakys matematikos pamokų ir tokiu būdu toliau gilins egzistuojančią prarają mūsų kultūroje.

Net jeigu Švietimo ir mokslo ministerija imtųsi remti siūlomus matematinio ugdymo tikslus, neaišku, kas galėtų įgyvendinti reikalingus pokyčius. Tam reikėtų ne tik sutelktų matematikų bendruomenės pastangų, bet ir visos akademinės bendruomenės pritarimo ir palaikymo.  Dar daugiau reikėtų matematikos mokytojų ir visos visuomenės supratimo. Visada yra sunkiau kurti negu naikinti.

Sunku tikėtis radikalių permainų šalyje, kurioje švietimo ir mokslo, bei kultūros ministrų pareigos politiniu požiūriu yra mažiausiai reikšmingos ir įtakingos. Šalyje, kurioje įgyvendinamos tik tos priemonės, kurias finansuoja Europos Sąjunga, nelieka nei laiko nei resursų spręsti savo fundamentalias dvasinės kultūros problemas. Matyt, svarbiausia mūsų problema yra susilpnėjęs akademinės bendruomenės atsakomybės jausmas.

Cituojama Literatūra ir pastabos

0Šiek tiek sutrumpintas šio teksto variantas publikuotas žurnale Kultūros barai, 2014, nr. 5.

1 Viktorija Daujotytė. Formos ir formulės menų ir mokslų sankirtose. Kultūros barai, 2014, nr. 1.

2Op. cit. 30 pusl. 

3Almantas Samalavičius. Universiteto idėja ir akademinė industrija. Vilniaus pedagoginio universiteto leidykla, 2010.

4In an obituary by Freeman J. Dyson. Nature, March 10, 1956. 

5Arūnas Sverdiolas. Korys, migla ir rėtis. Dabartinės lietuvių kultūros erdvėlaikio ypatybės. Apie pamėklinę būtį. Baltos lankos, 2006. p.104.

6Georgas Ifrahas. Universalioji skaičių istorija. Kaip skaičiai ir skaičiavimas atskleidžia žmogaus išradingumą. Žara, 2013.

7Šiame sakinyje žodis ,,realusis“ turi skirtingas reikšmes. Skaičiaus realumas nurodo tai, kad jis nėra menamas ar kompleksinis.

8Georg Cantor. Foundations of a general theory of manifolds: A mathematico-philosophical investigation into the theory of the infinite. 1883. In:  Ed. W. Ewald. From Kant to Hilbert. A Source Book in the Foundations of Mathematics. Vol. II. Clarendon Press, Oxford,1996. p. 896.

9Alfred N. Whitehead. Mathematics as an Element in the History of Thought. Chapter II in his Science and the Modern World. 1925. In: Ed. J.R. Newman. The World of Mathematics. Simon and Schuster, New York, 1956. p. 402.

10Raymond L. Wilder. Introduction to the foundations of mathematics.  Antras leidimas. Dover Publ. 2012. (290 pusl.)

11Vladimiras Uspenskis. Matematikos apologija. (2-as leidimas) Sankt-Peterburgas, Amfora, 2012.

12Max Tegmark. Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality. New York, A.A. Knopf, 2014.

13Oswald Spengler. Vom Sinn der Zahlen. Knygoje: Der Untergang des Abendlandes. 1918. Vertimas į anglų kalbą: Meaning of Numbers. Rinkinyje J.R. Newman. The World of Mathematics. Vol. 4, 1956, 2315-2347.

14Leslie A. White. The Locus of Mathematical Reality: An Anthropological Footnote.  Rinkinyje J.R. Newman. The World of Mathematics. Vol. 4, 1956, 2348-2364.

15Raymond L. Wilder. Mathematics as a Cultural System. Pergamon Press, 1981.

16Zygmunt Janiszewski. O Potrzebach Matematyki w Polsce. Nauka Polska, 1918.

17Roman Duda. On the Warsaw Interactions of Logic and Mathematics in the Years 1919-1939. Annals of Pure and Applied Logic, vol. 127, 2004,

18Edward Rothstein. Emblems of Mind. The Inner Life of Music and Mathematics. The University of Chicago Press, 2006. 

19Nathalie Sinclair. Mathematics and Beauty: Aesthetic Approaches to Teaching Children. Teachers College Press, 2006.

20V. Daujotytė, op. cit.,  p. 29.

21Jonas Kubilius. Kaip mokslų akademijoje atsirado matematika. Matematika Lietuvoje po 1945 metų. MII, 2006.

22A. Sverdiolas, op. cit.

23Algirdas Matulis. Pasakojimai apie aukštąją matematiką. Knygų kelias, Vilnius, 2012.

24Juozas Al. Krikštopaitis. Išmintis, atsiverianti pažinimo kelyje. Mintis, Vilnius, 2013.

25Zigmas Žemaitis. Matematikos programa aukštesniosiose mokyklose.  Pirmosios matematikos ir fizikos mokytojų konferencijos darbai (1928 m. sausio mėn. 3-5 d.). Akc. ,,Ryto“ b-vė Klaipėdoje,1928.

  3 Responses to “Matematika – Lietuvoje neegzistuojanti dvasinės kultūros dalis”

  1. Rimo ilgo teksto visiškai trumputė santrauka galėtų būti tokia: matematika, nėra vien kitų mokslų įrankis, bet turi savo ypatingą turinį ir raidą, o geriausiems jos kūriniams būdingas grožis. Kaip ir meno kūriniams…

    Tačiau humanitarinio pobūdžio kūrybos žmonėms sunku įžvelgti ką nors gražaus matematikos veikaluose, o daugelis matematikų yra abejingi meno kūriniams, arba jei ir nėra abejingi, tai suvokia juos perdėm ,,matematiškai“.

    Tai nėra keista, nes meno grožį sugebantis jausti žmogus tikisi, kad matematikos grožis (jeigu jis yra), toks pat kaip meno grožis, o matematikas mene ieško matematinio grožio. Tačiau tiesa yra ta, kad matematika ir meninė kūryba yra suvokiama skirtingai, taip buvo ir bus visada, o visų ,,sanglaudų“ vaisiai dvelkia dirbtinumu kaip kompiuterinės grafikos kūriniai arba specialiųjų efektų prisodrinti filmai.

    Kadangi nėra daug žmonių, kurie jaučiasi daugiau-mažiau namuose tiek matematikos, tiek humanitarinės minties bei kūrybos žemėse, tai svarstymai dažnai įgyja formą:
    ,,mes čia esame tokie, o jūs, deja, kitokie…“

    Tačiau kartais tokių žmonių pasitaiko. Ir vienas didžiausių iš jų (bent jau mano nuomone) buvo (yra)
    Blezas Paskalis, kuris savo minčių skyriuje apie dvasią ir stilių parašė taip:

    ,,Kurie įpratę spręsti nuojauta, nesupranta dalykų, pasiekiamų samprotavimo keliu, nes jie nori iškart permatyti vienu žvilgsniu ir nėra pratę ieškoti pagrindų. Atvirkščiai, kurie įpratę svarstyti, atsižvelgdami į pagrindus, nesupranta nuojautos dalykų, juose ieškodami pagrindų ir nepajėgdami jų apimti vienu žvilgsniu.”

    Kai dailininkas deda paskutinį brūkšnį ar rašytojas randa tinkamą žodį, jie sprendžia pasikliaudami nuojauta ir jokia matematika jiems nepadės. Lygiai taip pat tokia nuojauta nepadės kuriant matematinį grožį. Dauguma žmonių gali išsiugdyti gebėjimą, jeigu ne kurti, tai bent jausti ir vertinti abiejų
    rūšių kūrinius ir grožį (jeigu jie perdaug nenukentėjo nuo ,,ankstyvojo profiliavimo“). Tokie buvo Renesanso žmonės.

    Išsiugdęs ,,estetinę“ nuojautą meno bei humanitarinės kūrybos srityje vargu ar suras grožį straipsnyje pateiktame įrodyme, kad nėra didžiausiojo pirminio skaičiaus. Kad jį atrastum, turi primiršti, Paskalio žodžiais tariant, gebėjimą ,,iškart pamatyti vienu žvilgsniu“
    ir prisimini ,,kelionę nuo pagrindų”. Visų pirma reikia mintyse atskirti pirminius skaičius nuo sudėtinių ir pajusti, kad pirminiai skaičiai yra svarbūs – kaip kitų skaičių sandaros plytelės. Po to reikia įsisąmoninti klausimą, ar tų pirminių skaičių (plytelių) yra baigtinis kiekis, ar be galo daug? Galbūt net pagalvoti, kaip pats ieškotum atsakymo… Tada suprastum, kaip sunku, o gal net neįmanoma jį surasti. Ir tik tada galėtum suprasti, kodėl šis įrodymas yra toks gražus ir vertingas: atlikę paprastus, kone banalius minties žingsnelius randame atsakymą į didingą klausimą!

    Taigi matematikos grožis atsiveria ne tiems, kurie įpratę ,,pamatyti vienu žvilgsniu”, bet tiems, kurie turi patirties ilgesnį ar trumpesnį kelią nueiti ,,nuo pagrindų”. Matematikos grožis atsiveria kaip kraštovaizdis po kelionės.

    Tačiau meno kūrinius išmokti vertinti yra lengviau: jie rodomi parodose, aiškinami… O matematikos? Dauguma matematikų gerai jaučiasi ,,dramblio kaulo bokštuose” ir neskuba į ,,agorą” skleisti savo entuziazmo. O kurie nueina, iš bokštų aukštybių neatrodo nei itin svarbūs, nei dideli.

    • Dėkui Viliau už komentarą. Aš pritariu tam, ką rašai.

      Apibendrindamas savo tekstą sakyčiau taip: grožis matematikoje yra abstraktaus mąstymo grožis, Tam, kad įžvelgti šį grožį reikia lavinti abstraktaus mąstymo gebėjimus. Panašiai yra ir visuotinai menui priskiriamose srityse. Mes galime formaliai nepriskti matematikos menų sritims, bet esmės tai nekeičia. Matematika turi bruožą dėl kurio tipiška meno sritis yra laikoma menu.

      Klausimas: Kiek svarbus pačiai matematikai yra grožio aspektas abstrakčiame mąstyme? Turint galvoje, kad šiuolaikinė matematika nėra motyvuojama pasaulio pažinimu. Tai, kas motyvuoja matematiko veiklą?

    • Dėkoju ir už straipsnį, ir už jo komentarą.

      Savo artimoje aplinkoje kartas nuo karto pabandau taisyti senus stereotipus ir “teisingai” perteikti kas yra matematika ir jos prasmę.
      Visgi turiu pripažinti, kad kol kas man nelabai sekasi (o tiksliau visai nesiseka). Rimo tinklalapyje vis pabandau pasisemti teisingu argumentų, kuriuos galėčiau papasakoti visiems žmonėms, tame tarpe ir žmonėms be matematinio išsilavinimo. Deja, man pasirodė, kad dažniausiai Rimo argumentus (kaip ir matematinį įrodymą) gali įvertinti tik matematikai. Manau, kad Viliaus komentaras labai įdomiai papildė Rimo tekstą, vaizdingai perteikdamas tiek problematiką, tiek nurodydamas kur reikia ieškoti to mistinio matematinio grožio. Dėkoju.

 Leave a Reply

(required)

(required)

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>