Rgp 022014
 

Šiame įraše aptariu Amiro Alexanderio knygos Infinitesimal. How A Dangerous Mathematical Theory Shaped The Modern World antrąją dalį. Primenu, kad pirmoji knygos dalis yra apie geometrijos reikšmę Jėzaus Draugijai ir jos narių kovą su tais, kurie nesureikšmino dedukcinio samprotavimo geometrijoje ir ieškojo naujų metodų matematikoje. Praeitame įraše aptariau knygos autoriaus versiją apie tai, kaip jėzuitų kova su kontinuumo struktūros idėja galimai paveikė Italijos matematikų veiklą ir tuo pačiu įtakojo likusį pasaulį per jėzuitų sukurtą visuotinę švietimo sistemą.    

Antroji Alexanderio knygos dalis skirta garsiajai kontraversijai tarp Thomaso Hobbeso [Tomo Hobso] ir Johno  Walliso. Šiuo atveju kontinuumo struktūros idėją naudoja Wallisas, toliau vystydamas italų matematikų G. Gallilei, B. Cavalieri ir E. Torricelli darbų rezultatus. Knygos autorius siekia parodyti, kad ginčas dėl šios idėjos paveikė ne tik konkrečių žmonių gyvenimą. Pagal jį, šios idėjos pergalė Anglijoje padėjo šiai šaliai tapti lydere ne tik moksle, bet ir politinės santvarkos vystymesi.  

Kas galėjo atsitikti, jei jėzuitai ir Hobbesas būtų laimėje? Kas, jei begalinė mažybė būtų sėkmingai pažabota visur?- klausia Alexanderis ir pats atsako.  

I think if they had won, then it would have been a much more hierarchical society. In a world like that, there would not be room for democracy, or for a range of opinion, there would not be room for dissent. If the Jesuits and their allies had had their way, there would be no calculus, no analysis, nor any of the scientific and technological innovations that flowed from these powerful mathematical techniques.

Tokia yra knygos autoriaus Alexanderio nuomonė. Šio įrašo gale yra keletas nuorodų į kitas  kontraversijos tarp Hobbeso ir Walliso istorijas.    

Matematikos prigimties problema

 Nors kontinuumo struktūros problema yra svarbi diskusijoje tarp Hobbeso ir Walliso, tačiau ne vienintelė. Spręsdamas pagal knygoje aprašytą diskusiją, aš ją siečiau su matematikos prigimties problema (the nature of mathematics). Kas tai per problema? Nesenai internete aptikau karikatūras (Calvin and Hobbes: Math Is a Religion), kurios linksmai, bet taikliai iliustruoja šią problemą:   

 Calvin and Hobbes: Math Is a Religion

  

Pirmas kadras. 
Calvinas: Žinai, aš manau, kad matematika nėra mokslas. Aš manau, kad matematika yra religija. 
Hobbesas: Religija?

Antras kadras. 
Calvinas: Taip. Visos tos formulės yra tiesiog stebuklas. Paimi du skaičius ir kai sudedi juos,  stebuklingai gauni naują skaičių! Niekas negali paaiškinti kaip tai atsitinka. Tu tiki tuo arba tu netiki.

Trečias kadras.
Calvinas: Visa ši knyga yra pilna dalykų, kuriais turi tiesiog tikėti. Tai ir yra religija!

Ketvirtas kadras. 
Hobbesas: Ne kur kitur, o mokykloje. Kviesk advokatą. 
Calvinas: Būdamas matematikos ateistu, aš turėčiau būti atleistas nuo to [matematikos mokymosi].

Pabandysiu susieti šias karikatūras su matematikos prigimties problema.  Iš kur mes žinome, kad 2+3=5? Sakysite, paimkime du obuolius ir tris obuolius. Sudėkime juos į krūvą ir suskaičiuokime. Taip, gausime penkis obuolius. Bet matematiniu teiginiu 2+3=5 pasakoma žymiai daugiau negu bet kuriuo konkrečiu pavyzdžiu. Šis ir kiti matematiniai teiginiai turi savybę vadinamą (matematiniu) tikrumu (angl. certainty). Iš kur atsiranda tas matematinis tikrumas? Panašus klausimas: Kas yra matematinio teiginio teisingumo šaltinis? Vieni sako – patirtis, eksperimentai. Kiti sako – to nepakanka. Matysime, kad J. Wallisas priskirtinas tai matematikų kategorijai, kuriai eksperimentas yra vertingesnis už dedukcinį samprotavimą, net ir matematikoje. Jei matematika yra religija, kaip teigiama karikatūroje, tai matematinių įrodymų vertė būtų tik aiškinamoji. Bet mes vertiname ir tuos teisingus matematinius įrodymus, kurių iki galo nesuprantame, bet žinome, kad jie teisingi. Kita vertus, jėzuitai siekė geometrijos teiginių tikrumą perkelti į teologiją, Thomasas Hobbesas siekė geometrijos teiginių tikrumą perkelti į savo politinę filosofiją. Tai matyt matematika nėra vien tik religija, ar vien tik gamtos, humanitarinis ar socialinis mokslas. Tai kaip apibūdinti matematikos prigimtį?   Kas yra matematikos teiginių tiesos šaltinis? Koks yra matematikos objektų statusas?

Matematikos prigimties problema per daug plati, kad būtų galima ją apžvelgti čia. Bet galime pabandyti prisiminti šios problemos antikos laikų ištakas. Geriausiai žinomi Platono (427-349 pr.Kr.g.) ir Aristotelio (384-322 pr. Kr.g.) požiūriai į matematikos prigimtį. Platonas postulavo, kad mus supantys objektai yra dviejų rūšių: materialūs ir nematerialūs. Tikrąją būtį įkūnija nematerialūs objektai. Jiems būdingi būtinumas, pastovumas, tikrumas, tobulumas ir pažinumas.   Materialūs objektai yra nematerialiųjų objektų šešėliai. Jie yra atsitiktiniai, kintami, neapibrėžti, netobuli ir nepažinūs. Nematerialūs objektai nėra abstrakcijos ar sąvokos. Platono nuomone, jie yra realūs ir suvokiami protu. Nematerialių objektų savybės yra patikimos ir tikslios. Nematerialūs objektai taip pat yra dviejų rūšių: idėjos (formos) ir matematiniai objektai. Platono idėjomis yra savybės gerumas, grožis, vienumas, apskritumas ir t.t. Matematiniams objektams būdingas neribotas jų ,,kopijų” kiekis, skirtingai nuo idėjų. Pavyzdžiui, vienetų ir apskritimų yra kaip norimai daug. Vienumas ir apskritumas yra vieninteliai. 

                                                                                     idėjos  (apskritumas)

                            nematerialūs objektai                            

                                                                                     matematiniai objektai   (apskritimas)

———————————————————————————————————————————– 

                                                                                     fiziniai objektai  (ratas)

                           materialūs objektai                                  

                                                                                      vaizdai   (rato piešinys)

Tikrąją būtį įkūnija nematerialūs objektai. Jie egzistuoja nepriklausomai nuo žmogaus proto. Materialūs objektai yra idėjų atskirybės ir būties šešėliai.  Pagal Platoną, teiginiai yra teisingi, jei tai, ką jie teigia apie objektus atitinka realią būseną. Matematikos teiginių tikrumas išplaukia iš matematinių objektų savybių. Tokiu būdu matematika yra tarpinė sritis žinių tikrumo hierarchijoje.

Aristotelio teigimu, matematikos prigimties šaltinis yra priešingas, negu Platono filosofijoje. Tikras žinias suteikia ne idėjos, o jutiminės tikrovės reiškiniai, t.y. materialūs objektai. Matematikos objektai, pagal Aristotelį, yra materialių objektų savybių abstrakcijos. Pavyzdžiui, skaičius yra ne daiktavardis, o būdvardis išreiškiantis materialaus objekto savybę.  Tikrumo požiūriu, matematika ir jos teiginiai išlieka tarpinėje srityje tarp natūraliosios filosofijos ir filosofijos.  

 Šioms pastaboms panaudojau knygas W.S. Anglin. Mathematics: A Concise History and Philosophy. Springer, 1994 ir W.S. Anglin, J. Lambek. The Heritage of Thales. Springer, 1995. 

Man atrodo verta priminti, jog tai, ką mes vadiname aritmetika (mokoma mūsų mokyklose) senovės graikai vadino logistika (logistics), o aritmetika jie vadino tai, ką dabar mes vadiname skaičių teorija. Sunku pasakyti, kas sudarė matematiką Senovės Graikijoje. R. Feldhay straipsnyje The use and abuse of mathematical entities: Galileo and the Jesuits revisited. In:  The Cambridge Companion to Galileo (ed. P. Machamer) rašo (96 pusl):

The Pythagoreans and quite a number of philosophers believed that the mathematical disciplines essentially consisted of four branches, each having s pecific subject: arithmetic with discrete numbers, geometry with continuous magnitudes, music with numbers in relation to voices, and astronomy with continuous magnitudes in relation to the motion of celestial bodies.

Kiti požiūriai skiriasi nuo šio ir jie aptariami cituojamame R. Feldhay straipsnyje.

Thomasas Hobessas

Kontraversija tarp Hobbeso ir Walliso vyko 17-to amžiaus vidurio įvykių Anglijoje fone.   Laikotarpis nuo 1640 metų iki 1660 metų Anglijoje vadinamas pilietiniu karu arba karaliaus tarpuvaldžiu  (angl. The Interregnum), kurio metu karaliaus Charleso I valdžią perėmė Parlamentas. 1649 metais karaliui įvykdyta mirties bausmė po kurios įsitvirtina karinė valdžia vadovaujama Oliverio Cromwellio. Šis laikotarpis turėjo svarbių padarinių monarchinei Anglijai. To meto įvykiuose skirtingu būdu aktyviai dalyvavo Hobbesas ir Wallisas.  Pirmiausia pacituosiu knygos autoriaus Alexanderio pateiktą Hobbeso apibūdinimą (297 pusl.). 

Thomas Hobbes (1588-1679): The author of Leviathan and advocate of an absolutist authoritarian state, Hobbes considered himself a mathematician as well. He believed that his philosophy was founded on mathematical principles, and that it was therefore as certain as a geometrical demonstration. The decrees of the Leviathan, he believed, will be as incontestable as geometrical proofs. 

 
 

Thomas Hobbesas matematika susižavėjo atsitiktinai ir visam likusiam gyvenimui, būdamas keturiasdešimties metų amžiaus (legendą apie tai yra Alexanderio knygos 214 pusl). Jį sužavėjo loginio samprotavimo tikslumas ir aiškumas Eukleideso Pradmenyse. Teigiama, kad absoliučiu racionalumu grindžiamą valstybės tvarką jo veikale  Leviathanas inspiravo būtent geometrija. Tam, kad išvengti chaoso buvusio karaliaus tarpuvaldžiu Anglijoje, jo manymu, būtinas suverenas (valdžia), kurio įstatymai turėtų geometrinio įrodymo tikrumą.   Cituoju Alexanderio knygos 218 pusl:

Euclidean geometry thus came to be associated with a particular form of social and political organization, which Hobbes and the Jesuits strived for: rigid, unchanging, hierarchical, and encompassing all aspects of life. To us, who can look back on the rise and fall of bloody totalitarian regimes in recent centuries, it is a chilling, repelent vision. But at the dawn of the modern age, with the old medieval world in shambles and nothing to replace it, perspectives were different. To Clavius, to Hobbes, and to many others, it seemed that the answer to uncertainty and chaos was absolute certainty and eternal order. And the key to both, they believed, was geometry.

Hobbeso nuomone, vis dėlto Eukleideso geometrija turėjo du trūkumus. Pirma, postulatais apibūdinami geometriniai objektai (taškas, tiesė, plokštuma) yra abstraktūs ir realybėje neegzistuoja (Alexanderio knygos 222 pusl.). Todėl geometrijos teiginiai nepritaikomi jutiminio pasaulio reiškiniams (materialiems objektams) apibūdinti. Hobbeso nuomone, geometrijos objektais turi būti tai, kas egzistuoja tikrovėje: judanti materija. Tai reiškia, kad taškais, tiesėmis, plokštumomis yra materialūs kūnai turintys nenulinius dydžius. Taškas turi nenulinį dydį, tiesė turi plotį ir plokštuma turi storį. Šis požiūris į matematikos objektus skyrėsi ir nuo Platono ir nuo Aristotelio. Tačiau geometriniuose įrodymuose Hobbeso objektai ,,praranda” (?) savo dydžius. Alexanderis rašo (224 pusl.): 

Conceiving geometrical objects as material bodies was one key component of Hobbes’s geometry. The other was another seemingly physical attribute: motion. Lines, surfaces, and solids were all created by the movement of bodies, and Hobbes’s geometry accounts for this. The most minuscule possible motion “through a space and time less than any given”, he called “conatus”; the speed of the conatus he called “impetus.”  To account for how these minuscule motions added up to complete lines and surfaces, he drew on a surprising source: Cavalieri’s indivisibles.

Hobbeso nuomone, Cavalierio nedalomieji yra materialūs objektai turintys teigiamus dydžius ir tokia jų interpretacija leidžia išvengti loginių prieštaravimų. Hobbeso teigimu, jo naujoji materialioji geometrija turėjo išspręsti visas iki tol egzistavusias geometrijos problemas, kurios sudarė antrąjį jo vadinamąjį geometrijos trūkumą.

Hobbesas buvo įsitikinęs, kad jo materialioji geometrija leis jam išspręsti visas iki tol egzistavusias geometrijos problemas.   Skritulio kvadratūros uždavinio (pirmąjį) ,,sprendimą” jis paskelbė savo veikale De corpore.  Skritulio kvadratūros užduotis reikalavo nubrėžti kvadratą, kurio plotas būtų lygus duoto skritulio plotui, naudojant tik liniuotę ir skriestuvą. Kadangi spindulio r skritulio plotas yra Latex formula, tai nubrėžti reikalaujamo kvadrato kraštinės ilgis yra Latex formula.  Skritulio kvadratūros užduotis bus išspręsta, jei naudojant tik liniuotę ir skriestuvą bus nubrėžta atkarpa, kurios ilgis yra Latex formula.

 Skritulio kvadratūros užduoties atlikti neįmanoma. Galutinai tai įrodė vokiečių matematikas F. von Lindemanas 1882 metais įrodęs, kad iracionalusis skaičius Latex formula yra transcendentinis, t.y. nėra algebrinis.  Nubrėžti atkarpą, kurios ilgis yra skaičius Latex formula būtina, kad Latex formula būtų algebrinis skaičius, t.y. daugianario su racionaliais koeficientais šaknis. Šios užduoties sprendimo istorija yra ilga ir marga. Atlikti skritulio kvadratūrą tapo bendrine fraze reiškiančia atlikti kažką neįmanomo. 

Thomas Hobbesas buvo vienas iš daugybės matematikos mėgėjų bandžiusių atlikti skritulio kvadratūrą. Jis išsiskyrė savo užsispyrimu. Skritulio kvadratūros paieška tapo labai svarbia jo gyvenimo veikla. Kita Hobbeso gyvenimo svarbia veikla buvo kova su Johno Walliso begalinės mažybės samprata. Hobbeso biografija yra tarp kitų matematikų biografijų čia.

Johnas Wallisas

Dabar pacituosiu knygos autoriaus Alexanderio pateiktą Walliso apibūdinimą (296 pusl.). 

John Wallis (1616-1703): An ardent Parliamentarian and Puritan divine in the early years of the Interregnum. Wallis served as secretary to the Westminster Assembly of Divines. From the mid-1640s he was a regular participant in the private meetings that would later lead to the establishment of the Royal Society of London, and in 1649 he was appointed Savilian Professor  of Geometry at the University of Oxford. Wallis made his name in mathematics as a leading infinitesimalist, and in politics as a relative pragmatist and moderate, in line with his fellows at the Royal Society. He was engaged in a decadeslong war with Hobbes over his mathematics and his authoritarian politics.

  

Wallisas mokėsi puritonų mokykloje. Kaip ir Hobbeso atveju, Wallisas susidūrė su matematika atsitiktinai, susidomėjęs savo jaunesniojo brolio mokymusi (Alexanderio knygos 233 pusl.).  Skirtingai nuo Hobbeso, kuriam matematika imponavo savo aristokratiškumu ir samprotavimų loginiu tikslumu, Wallisui matematika visada buvo įrankis gauti naujus rezultatus. Wallisui buvo nesvarbu ar samprotavimai logiškai tikslūs ar ne, svarbus tik galutinis rezultatas. 

Hobbeso ir Walliso požiūrių skirtumas į matematiką atsispindėjo ir jų požiūriuose į visuomenės tvarką. Cituojant Alexanderį, Wallisas teigė:

What you have to build now is some space where dissent can be allowed, within limits at least. Build a society and build a social order from the ground up rather than imposing it by one sngle law from the top down. 

 Pilietinio karo metu, greta parlamentinės veiklos, Wallisas dalyvavo veikloje grupės, kurią 1662 metais karalius Charles II pripažino kaip Londono Karališkaja (mokslo) draugija (The Royal Society of London). Greičiausiai dėl savo politinės veiklos 1949 metais Walliasas tapo Savilian Professor of Geometry at Oxford. Nuo tada jam teko rimtai užsiimti matematika, ir tai jam pavyko. 1956 metais publikavo savo pagrindinį veikalą ,,Begalybių aritmetika” (Arithmetica infinitorium). 

Alexanderio teigimu, Londono Karališkosios draugijos įkūrėjai matematiką laikė dogmatiškos filosofijos sąjungininke ir įrankiu. Toliau jis rašo  (256 pusl.).

[Mathematics] was the model for the elaborate systems of the rationalists, and the pride of the mathematicians was the foundation of the pride of Descartes and Hobbes. And just as the dogmatism of those rationalists would lead to intolerance, confrontation, and even civil war, so it was with mathematics. Mathematical results, after all, left no room for competing opinions, discussions, or compromise of the kind cherished by the Royal Society. Mathematical results were produced in private, not in public demonstration, by a tiny priesthood of professionals who spoke their own language, used their own methods, and accepted no input from laymen. Once introduced, mathematical results imposed themselves with tyranical power, demanding perfect assent and no opposition. This, of course, was precisely what Hobbes so admired about mathematics, but it was also what Boyle and his fellows feared:  mathematics, by its very nature, they believed, leads to claims of absolute truth, dogmatism, threats of tyrany, and, all too easily, civil war. [pajuodinta mano]

Tačiau nebuvo galima neatsižvelgti į to meto mokslo laimėjimus, pavyzdžiui, astronomijoje, kurie buvo grindžiami matematika.

What, then, could the Royal Society leaders do? They could not simply ignore the brilliant contributions that mathematics had already made to science, or the strong indications that the former would continue to play a central role in the latter’s advancement. But how could the Society embrace the important contributions of mathematical science and yet avoid its dangerous methodological, philosophical, and political implications? It was conundrum that left the Society with an ambivalence toward mathematics that characterized its science for many years. And no one felt this conflict more kinly than John Wallis.

Wallisas buvo vienintelis matematikas draugijoje tuo metu ir jam pavyko suderinti to meto mokslo metodologinį įrankį eksperimentą su matematika.  Alexanderio žodžiais (258 pusl.), Wallisas sukūrė ,,naujos rūšies matematiką”.  Šios matematikos esmė buvo tam tikra be galo mažo dydžio samprata. Alexanderis cituoja Wallisą (259 pusl.):

I suppose, to begin with (according to Bonaventura Cavalieri’s Geometry of Indivisibles) that any plane is made up, so to speak, of infinite parallel lines. Or rather (as I prefer) of an infinite number of parallelograms of equal height, the altitude of each one being Latex formula of the entire height, or an infinitely small aliquot part (the sign Latex formula denoting an infinite number); so that the altitude of all equal the height of the figure. [pajuodinta mano]

Interpas (2014 rugsėjo 14 d.): atrodo šioje citatoje atsispindi esminis pokytis be galo mažų dydžių sampratoje. Iki tol nedalomieji buvo viena dimensija mažesni už jų sudaromą objektą (tiesės sudaro plokštumą). Wallisas tieses keičia lygiagretainiais, kurie turi tą pačią dimensiją kaip ir plokštuma.  

Walliso matematiką iliustruosime apskaičiuodami plotą trikampio, kurio aukštinė ir pagrindas yra A ir B, atitinkamai. Pagal Walliso prielaidą, trikampį sudaro be galo daug lygiagretainių, kurių ilgieji pagrindai (atkarpos) lygiagretūs trikampio pagrindui. Pakanka suskaičiuoti visų trikampį sudarančių lygiagretainių plotų sumą. Ši suma lygi lygiagretainio aukštinei Latex formula padaugintai iš visų lygiagretainių pagrindų (atkarpų) ilgių sumos.  Pažymėsime šią sumą Latex formula ir parodysime, kad Latex formula.  Wallisas naudoja tai, kad lygiagrečių pagrindui atkarpų ilgiai sudaro aritmetinę progresiją. Pavyzdžiui, žemiau piešinyje yra penkios tokios atkarpos (pirmoji jų viršūnėje yra taškas, kurio ilgis lygus nuliui), kurių ilgiai yra Latex formula

 

 

Jei lygiagrečių atkarpų yra + 1, tai jų ilgių suma yra aritmetinės progesijos suma

Latex formula.

Kai Latex formula, tai Latex formula. Taigi, trikampio plotas S yra lygus

Latex formula

čia naudota lygybė Latex formula. Šio skaičiavimo rezultatą Wallisas naudoja kaip patvirtinimą, kad jo metodas yra taikytinas ir tais atvejais, kai skaičiavimo atsakymas nėra žinomas.

 Walliso veiksmai su begalybe kaip skaičiumi nesuderinami su šiuolaikinėje matematikoje priimta GCantoro begalybės samprata. Tačiau Walliso be galo mažas dydis Latex formula turi prasmę nestandartinėje analizėje (žr. 21 pusl. straipsnyje K.U. Katz and M.G. Katz  Cauchy’s Continuum).

 Walliso pasiūlytas trikampio ploto skaičiavimas iliustruoja jo požiūrį į matematiką kaip tyrimą objektų, kurie egzistuoja realiame pasaulyje. Geometrijos objektai, pavyzdžiui trikampis, yra realios tikrovės dalimi ir jo tyrimas panašus į gamtos tyrimą. geometro uždavinys atskleisti nežinomo objekto savybes. Tokiam tyrimui samprotavimų loginis tikslumas nėra būtinas. 

Wallisas eina toliau ir siūlo matematikoje naudoti indukciją, tokią indukciją, kurią natūralioje filosofijoje (gamtos moksluose) įteisino Francis Baconas  savo 1620 metų  knygoje Novum organum.  Walliso nuomone, siekiant nustatyti matematinį faktą, reikia nuosekliai tirti atskirus atvejus eksperimentuojant. bendras teiginys gaunamas naudojant indukciją. Be abejo, čia kalbama ne apie matematinę indukciją, kuri matematikoje pasirodė daug vėliau apie 1900-uosius metus.  

Savo indukcijos metodą Wallisas iliustruoja knygoje Arithmetica infinitorum ieškodamas santykio, kurį sudaro ketvirčio skritulio plotas Latex formula su kvadrato, kurio kraštinė r,  plotu Latex formula. Tai nėra skritulio kvadratūros uždavinys, kurį sprendžiant būtina naudoti liniuotę ir skriestuvą. Wallisas naudoja naują metodą ieškodamas transcendentinio skaičiaus Latex formula tikslios išraiškos. Jis gauna tokią formulę: 

Latex formula

Ieškodamas dešinės pusės išraiškos, Wallisas plotą išreiškia per elementarius stačiakampius ir skaičiuoja gautą santykį, nuosekliai didindamas elementariųjų stačiakampių skaičių. Atsakymas teisingas, vėliau įrodytas kitais metodais, bet Walliso indukcija nėra griežta to meto matematikų požiūriu. Ši indukcija buvo kritiškai įvertinta to meto matematiko Pierre de Fermat. Alexanderis rašo (274 pusl.):  “Material, infinitesimal, and experimental, Wallis’s method was one of the most unorthodox ventures in the history of Western mathematics.

Kontraversija tarp Hobbeso ir Walliso

Pirmasis šūvis kare tarp šių žmonių iššautas 1655 metų vasarą, kai Wallisas publikavo Elenchus geometriae Hobbianae. Tai buvo Hobbeso  pasiūlytos geometrijos pagrindų revizijos pikta kritika. Paskutinis šūvis buvo iššautas po 23 metų, kuriuo buvo taikoma į Hobbeso pastangas apsiginti ir savo ruožtu kritikuoti Wallisą. Matyt karas būtų tęsesis, jei Hobbesas nebūtų miręs kitai metais sulaukęs 91 metų. 

Apibendrindamas Alexanderis rašo (278 pusl):

Wallis and Hobbes both believed that mathematical order was the foundation of the social and political order, but beyond this common assumption, they could agree on practically nothing else. Hobbes advocated a strict and rigorous deductive mathematical method, which was his model for an absolutist, rigid, and hierarchical state. Wallis advocated a modest, tolerant, and consensus-driven mathematics, which was designed to encourage the same qualities in the body politic  as a whole. Across the mathematical and political divide the two faced each other, and the stakes could not have been higher: the nature of truth; the social and political order; the face of modernity.

Kiti šaltiniai apie Hobbesą, Wallisą ir kontraversiją tarp jų

Šiais laikais Hobbesas žinomas kaip iškilus politinės filosofijos mąstytojas.  Man buvo nauja tai, kad Hobbesas savo pagrindiniame darbe Leviathanas labai rimtai, gal ir netiesiogiai, rėmėsi matematika. Netgi kilo įtarimas ar tik nebus Alexanderis perlenkęs lazdą norėdamas pagrįsti pagrindinę knygos mintį. Bet labai panašias į Alexanderio išvadas randu šiuolaikinės liberalizmo politinės tradicijos tyrinėtojo J. Gray naujos redakcijos Leviathanrecenzijoje “Hobbes, our great contemporary” (20 September, 2012): 

What Hobbes admired about mathematics was the certainty it seemed to offer. Mathematical theorems were demonstrable and irrefutable, and so – he believed – were the principles of politics. For Machiavelli, writing over a century earlier, politics was best understood through the study of history. In contrast, for Hobbes, government was a deductive science, moving from unshakeable axioms to inexorable conclusions. Anyone who grasped the elements of this science could apply it in concrete political situations but no one was as well equipped as Hobbes himself.

 Alexanderio knyga ne pirmoji, kurioje aptariama kontraversija tarp Hobbeso ir Walliso . 2000 metais pasirodė Douglaso M. Jessepho knyga Squaring the Circle: The War between Hobbes and Wallis

  

 

Tuo labiau yra straipsniai šia tema:

A. Bird. Squaring the circle: Hobbes on Philosophy and Geometry

 L. Floridi. Mathematical Scepticism: the Debate between Hobbes and Wallis

 

Matematiko Walliso idėjos susijusios su begaline mažybe nemirė. Pastaruoju metu jos vis labiau plinta tarp matematikų. Tuo tarpu Hobbeso palikimu galima būtų laikyti matematikos idėjų netiesioginį naudojimą politinėje filosofijoje.  Netiesioginis šių sričių siejimas atrodo tapo tiesioginiu. Turiu galvoje Keno Binmore 1994 metų dviejų tomų knygą Game Theory and the Social Contract. Šios knygos reklamoje rašoma:

Advances in game theory during the past several decades have substantial implications for the fundamental questions of social policy, and this connection needs to be made. One can make the case that, in the context of Western intelectual history, game theory is the modern continuation of Hobbes’s great work, as theoretical physics is of Newton’s.

 

P.S. Šiuos padrikus įspūdžius surašiau norėdamas parodyti, ką mes prarandame savo vaikus mokydami tik logistikos (antikos laikų prasme) vietoje matematikos. Kaip jau rašiau kitur, matematika nėra Lietuvos dvasinės kultūros dalimi.

P.P.S. Perskaičiau 1999 metais rašytą V. Radžvilo įvadą į lietuviškąjį Hobbeso Leviathaną. Radžvilo  manymu Leviathanas įkūnija ,,geležinio narvo tvarką”.  Toliau už šios metaforos neinama. Matyt filosofija be matematikos daugiau nieko negali. Pralinksmino Radžvilo įvado paskutinis sakinys: ,,[Hobbesas] neabejotinai yra vienas iš Europos Sąjungos, į kurią entuziastingai veržiasi ir Lietuva, dvasinių tėvų”. 

 Leave a Reply

(required)

(required)

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>