Švietimo ir studijų kokybė yra atitiktis keliamiems tikslams. Mūsų švietimo tikslais yra pasiruošimas tarptautiniams ir vietiniams mokinių pasiekimų tyrimams bei reitingai. Tad, kad ir kaip verstis per galvą, jei tikslas minimalus, tai ir kokybė ne ką aukštesnė. Bet ar suprantame ką daryti kitaip? Mokyklinė matematika yra ta sritis, kurioje šis klausimas yra sudėtingiausias.
Šioje srityje nepakanka, kad problemos sprendimą žinotų keli specialistai. Matematikos mokymas gali keistis tik tuo atveju, jei pokyčių norės visuomenės dauguma. Jos paramos galima tikėtis, jei nujaučiama pokyčių prasmė. Tuo tarpu daugumos mūsų patirtis kužda, kad mokyklinė matematika yra kažkokios ezoterinės žinios, mažai ką bendro turinčios su kunkuliuojančiu pasauliu.
Taip, matematinio ugdymo programa kelia mokytojams tikslą atskleisti matematikos naudą. Bet naudojami metodai ir turinys iš esmės yra viduramžių kilmės. Tų laikų, kai aritmetikos mokydavo amatui, bei tam, kad vaikai priprastų prie muštro ir paklusnumo. Taip, mes padedame tiems vaikams, kurie patys daug ką gali suprasti. Bet to jau senai nepakanka.
Šių dienų matematikos mokymo iššūkis yra atskleisti matematikos prasmę ir esmę eiliniam vaikui. Matematikos prasmės ir esmės reikia ieškoti kasdieniuose dalykuose ir įprastose sąvokose. Pavyzdžiui, kokia prasmė galėtų glūdėti skaičiaus sąvokoje?
Praktikuojantis matematikas į klausimą ,,kas yra skaičius?“ atsakytų trumpai. Tai yra tam tikros matematinės struktūros elementas. Šiuolaikinėje matematikoje objektas savaime nėra aktualus. Svarbu objekto savybės. Pats objektas apibrėžiamas savo savybėmis. Prasmės tame lyg ir nėra daug.
Praktikuojančio matematiko požiūrį į skaičių paaiškina faktas, kad XIX amžiaus gale matematikai pradėjo domėtis struktūromis. Iki tol matematika buvo laikoma žinių sistema apie skaičius ir dydžius. Galbūt todėl, kad iki tol skaičiai ir dydžiai buvo mažiausiai suprantami matematikoje. XIX amžiuje matematikai pasitelkė nepaprastos svarbos prielaidą. Jie tarė, kad geometrinė tiesė ir realiųjų skaičių aibė laikytini abipus vienareikšmėje atitiktyje. Paprastai kalbant, beveik tapatūs.
Geometrinės tiesės taškų tapatinimas su realiųjų skaičių aibės elementais turi fundamentalią reikšmę tikrovės, kaip visumos, suvokimui. Tai yra prielaida ne tik apie erdvės ir laiko struktūrą. Ji reiškia pasirinkimą visus mus supančios aplinkos reiškinius laikyti iš elementų sudarytomis aibėmis. Bet ne vientisu kontinuumu. Šia prasme buvo pasirinktas pasaulėvaizdžio diskretus modelis, kuriame karaliauja skaičius ([1]).
Dilema tarp skaičių ir geometrinių dydžių mums pažįstama iš senovės graikų laikų. Zenono aporijos rodo, kad geometrinės atkarpos begalinis dalumas buvo suvokiamas kaip problema. Tuo tarpu Pitagoras tikėjo skaičių dieviška galia. Jis tyrė garsų harmoniją lygindamas ją su sveikųjų skaičių santykiais. Todėl galima suprasti Pitagoro ir jo pasekėjų nusivylimą supratus, kad net ne visas atkarpas galima išmatuoti sveikųjų skaičių santykiais. Galbūt todėl Euklido Pradmenyse dominuoja žinios apie geometrines figūras. Šiame veikale geometriniai dydžiai net nėra matuojami ar kitaip reiškiami skaičiais ([2]).
Mes nedaug žinome, ką apie skaičius galvojo senovės babiloniečiai. Molinių lentelių su jų matematiniais tekstais išliko nemažai. Bet tarp jų yra tokių, dėl kurių interpretacijos iki šiol nesutariama. Šių dienų matematikos požiūriu priimtina senovinio teksto interpretacija neprivalo derėti su to meto kultūriniu kontekstu. Tokio pobūdžio kontraversija iškilo šios vasaros pabaigoje, kai du australų matematikai paskelbė Plimpton 322 vardu vadinamos lentelės naują interpretaciją. Jei jie teisūs, tai trigonometriją atrado ne senovės graikai, o senovės babiloniečiai maždaug tūkstančiu metų anksčiau ([3]).
Nemažiau sunku suprasti šiuolaikinės matematikos aplinką. Matematikos filosofai nesutaria, kas yra skaičius kaip matematinis objektas. XIX amžiaus gale vokiečių matematikas ir filosofas Gottlob Frege (1848-1925) įrodinėjo, kad iki tol matematikai nenutuokė net Vieneto prasmės ([4]). Be abejo, Frege pasiūlė savąją prasmės versiją. Bet kai kurių kitų matematikų vertinimu, jo aiškinimas ne geresnis. Galbūt net blogesnis už ankstesnius.
Taip tęsiasi iki šiol. Atrodo keistai. Mes labai daug suprantame matematikos faktų. Bet mes nesuprantame, kas iš tikro yra matematika. Puikią knygą apie tai parašė matematikas Reuben Hersh ([5]). Jo teigimu, matematikos prigimtis nėra nei fizinė, nei protinė. Dalis matematikų mano, kad ji yra kultūros reiškinys. Kaip teisė, kaip religija, ar kaip pinigai. Būdama visuomenės ir kultūros dalimi, matematika yra kartu ir vidinė ir išorinė. Matematika yra vidine visuomenės ir kultūros atžvilgiu. Matematika yra išorine kiekvienam ją suprasti bandančiam individui. Jei taip, tai matematikos supratimą, o tuo pačiu ir skaičiaus sampratą, turėtų formuoti mokyklinis lavinimas ir knygos.
Bendrąjį išsilavinimą turėsime tada, kai brandos egzaminuose ir universitete būsime pasiruošę klausti, pavyzdžiui, ,,kas yra skaičius?“ Kol švietimas moko tik skaičiuoti, skaičiaus sampratą formuoja žiniasklaidos platinama numerologija, horoskopai, astrologija, mistika.
Komentaras LRT radijo laidai ,,Kultūros savaitė“
Papildymai:
[1]. John L. Bell. The Continuous And The Infinitesimal In Mathematics and Philosophy. Polimetrica, Italy, 2006. Knyga prasideda šiais žodžiais (cituoju):
We are all familiar with the idea of continuity. To be continuous is to constitute an unbroken or uninterrupted whole, like the ocean or the sky. A continuous entity – continuum – has no “gaps”. Opposed to continuity is discreteness: to be discrete is to be separated, like the scattered pebbles on a beach or the leaves on tree. Continuity connotes unity; discreteness, plurality.
The realm of the continuous is traditionally associated with intuition, that of the discrete, with reason. The discrete is a model of tidiness in which the quality is reduced to quantity and over which the concept of number reigns supreme. Populated by units lacking intrinsic qualities and so wholly indistinguishable from one another, in the dominion of the discrete difference is manifested through plurality alone. The simplicity of the principles governing discreteness has recommended it as a paragon of intelligibility, a realm within which reason can be realized to its fullest extent. By contrast, the continuous is a jungle, a labyrinth. It teems with such exotic and intractable entities as incommensurable lines, horn angles, space curves, one-sided surfaces. The taming of this jungle by reduction to the discrete has been a principal task, if not the principal task, of mathematics. (citatos pabaiga)
[2]. Ivor Grattan-Guinness. Numbers, Magnitudes, Ratios, and Proportions in Euclid’s Elements : How Did He Handle Them? Historia Mathematica, 23 (1996), 355-375.
[3]. D.F. Mansfield, N.J. Wildberger. Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry. Historia Mathematica, 2017. Akademinis tekstas, kurį papildė didžiulis kiekis straipsnių populiarioje žiniasklaidoje.
Eleanor Robson. Words and Pictures: New Light on Plimpton 322. The Mathematical Association of America, 109(2), (2002), 105-120. Ankstesnis akademinis tekstas ta pačia tema.
Evelyn Lamb. Trigonometry Hype. Separating fact from speculation in math history. Scientific American, August 29, 2017. (pirmasis Mansfield’o ir Wildberger’io pranešimo skeptiškas vertinimas)
Eduardo A. Escobar. Babylonian Knowledge and the Challenge of History. Stevanovich Institute on the Formation of Knowledge. The University of Chicago, September 8, 2017. (specialisto komentaras)
[4]. Gottlob Frege. The Foundations of Arithmetic. (originalas Die Grundlagen der Arithmetik, 1884) – aritmetikos filosofiniai pagrindai.
[5]. Reuben Hersh. What Is Mathematics, Really? Oxford University Press, 1999.
Ed Dubinsky. Hersh’o knygos recenzija. 2000.