Prasmingoji aritmetika

School mathematics Add comments

May 162015

Vakar Mokyklų tobulinimo centre vyko seminaras skirtas matematikos mokytojams apie aritmetiką. Trumpai apie seminaro tikslus ir turinį:

dalybos kampu ir trupmenų pavyzdžiais norėjau paaiškinti samprotavimų loginį tikslumą ir kai kurias logikos klaidas daromas matematikos vadovėliuose;
tai, apie ką buvo kalbama skirta mokytojams, bet ne mokiniams;
tai, apie ką buvo kalbama mokytojai gali panaudoti atsakydami į galimai sunkius mokinių klausimus apie matematiką;
tai, apie ką buvo kalbama tolimoje ateityje galėtų tapti studijų dalimi mokytojams apie elementariąją matematiką;
dar tolesnėje ateityje, esant palankiai politinei situacijai mūsų šalyje, galima būtų tikėtis grąžinti logiką ir prasmę į matematikos pamokas, o matematiką perduoti mūsų kultūrai, ten kur jai ir priklauso būti.

Toliau yra medžiaga, kurią paruošiau seminaro pradžiai.

Ar tai, ką mes mokome mokykloje kaip matematiką iš tikro yra matematika? Gal būt daiktus reikėtų vadinti tikraisiais jų vardais.

Kas yra matematika? Kasdienine kalba neįmanoma glaustai ir adekvačiai apibūdinti matematiką. Įvairūs matematikos aspektai yra išreiškiami tokiomis frazėmis kaip: ,,Matematika yra mokslo kalba“, arba ,,Matematika yra tai kuo užsiima matematikai“. Tokie apibūdinimai nėra pilni, bet gali atskleisti kurį nors svarbų matematikos aspektą. Mano nuomone, pakankamai taiklų apibūdinimą neseniai pasiūlė Normanas Gottliebas: ,,Matematika yra tiksliai apibrėžtų objektų tyrimas“. Tuo pasakomas pagrindinis skirtumas tarp matematikoje nagrinėjamų sąvokų ir kitų abstrakčių sąvokų.

Pritariant R. Jamesui Milgramui (žr. jo tekstą apie matematinį raštingumą iš literatūros sąrašo apačioje), dar konkrečiau galima teigti, kad svarbiausiais matematikos bruožais yra

tikslumas (tikslumas apibrėžiant sąvokas ir jų savybes, bei samprotavimų loginis tikslumas);
korektiškas problemų formulavimas ir jų sprendimas (korektiškumas reiškia visų naudojamų terminų tikslų apibrėžimą ir nutylimų prielaidų nebuvimą).

Tai yra matematikų bendruomenėje pripažįstamos matematikos vertybės.

Diskusijos dėl klaidų padarytų formuluojant 2014 metų VBE matematikos užduotis parodė, kad korektiškas problemų formulavimas mūsų mokyklinėje matematikoje nėra vertybė. Samprotavimų loginis tikslumas ir įrodymas jau senai tapo ,,bereikalingu formalizmu“, kurio rekomenduojama atsisakyti. Mano nuomone, tokia padėtis yra mūsų matematinės kultūros seklumo pasekmė.

Mokyklinės matematikos mokymas Lietuvoje ne tik neatskleidžia šiuolaikinės matematikos bendrųjų bruožų, bet iš esmės mokiniui lieka nežinoma matematikos idėjų ir sąvokų evoliucija. Matematikos idėjomis vadiname idėjas, kurios formuoja matematikos veidą, jos svarbiausius bruožus, aiškina problemas, paradoksus, motyvuoja naujas arba keičia senas matematikos sąvokas.

Pagrindine matematikos idėja galima laikyti samprotavimą, kuriuo pagrindžiame teiginius apie matematikos objektus ir jų savybes. Toks samprotavimas dažnai išskiriamas vadinant jį įrodymu. Pats matematikos atsiradimas greta praktinės skaičiavimo ir matavimo technikos siejamas su įrodymo naudojimu pagrindžiant abstrakčių objektų savybes.

19 amžiuje matematikoje pradėti nagrinėti objektai manant, kad jie neturi atitikmens realiame pasaulyje. Tokių objektų pavyzdžiais tuo metu buvo kompleksiniai skaičiai, grupės, neeuklidinės geometrijos, daugiamatės erdvės ir panašiai. Būtina tokių matematikos objektų savybė yra jų tikslus, vienareikšmis apibrėžimas. Tokiu būdu apibrėžimų tikslumas tapo privaloma matematikos savybe. Jei norėtume perteikti matematikos bruožus mokiniams, tai samprotavimų loginis tikslumas ir apibrėžimų tikslumas turėtų būti svarbūs mokyklinėje programoje.

Šiame seminare bandysime aiškintis ir suprasti aritmetikos procedūras naudodami tikslius apibrėžimus ir samprotavimų loginį tikslumą.

Įrodymo samprata. Ji pirmiausia atsirado geometrijoje. Manoma, kad Talesas iš Mileto (624—548 prieš Kr.) pirmasis savo teiginius apie geometrines figūras grindė įrodymu. Autentiškų jo rašto darbų lyg ir neišliko. Jam prisikiriami teiginiai (pagal Anglin, 13 pusl. ir Wikipedia Thales‘ theorem):

Lygiašonio trikampio pagrindo kampai lygūs;
Trikampio kampų suma yra lygi 180^o;
Kampas įbrėžtas į pusapskritimį yra status (Taleso teorema).

Šis faktas buvo žinomas anksčiau egiptiečiams, babiloniečiams ir gal būt kitoms civilizacijoms. Talis pirmasis pasiūlė šio teiginio įrodymą besiremianti 1 ir 2 teiginiais. Būtent, kadangi $\alpha+(\alpha+\beta)+\beta =180^{\circ}$ , tai $\alpha+\beta=90^{\circ}$ (žiūrėk piešinį). Šis pavyzdys iliustruoja įrodymo idėją. Įrodymas yra matematinis argumentas, kuriuo pagrindžiamas teiginio teisingumas. Be to, įrodymas paaiškina kodėl teoremos teiginys yra teisingas.

Įrodymo forma evoliucionavo kartu su matematika. Pavyzdžiui, idėja įrodyme naudoti aksiomas realizuota Euklido Pagrinduose. Talio teoremos apibendrinimas Pagrindų 3 knygos 31 teiginys apie įbrėžtą ir centrinį kampus ir jos įrodymas įgijo griežtesnę formą. Viduriniais amžiais ir iki maždaug 19 amžiaus, įrodymo svarba ir samprotavimų griežtumas gerokai sumenko. Tai buvo susiję su išaugusia matematikos svarba gamtos tyrimuose. Tačiau 19 amžiuje matematikoje įvyko radikalūs pokyčiai. Intuityvų skaičiaus supratimą keitė logiškai pagrįsta skaičių sistemos samprata. Įrodymas vėl tapo skiriamuoju matematikos bruožu.

Daugelis tyrėjų ir matematikos ugdymo programų rekomenduoja, kad įrodymo idėja ir ją atitinkanti veikla būtų vykdoma mokyklinės matematikos kontekste (cituoju iš A.J. Stylianides). Būdamas loginiu samprotavimu, įrodymas remiasi pagrindiniais teiginių logikos dėsniais. Tinkamai organizuota mokyklinė matematika galėtų būti idealia priemone ugdyti loginį samprotavimą. Tačiau pirmiausia įrodymo idėja turėtų būti suprasta ir priimta mokytojų. Tik jie gali nuspręsti konkrečioje aplinkoje kokia įrodymo forma prieinama mūsų mokiniams. Įrodymas ne tik padaro suprantamais matematikos faktus ir algoritmus. Supratimas savo ruožtu skatina motyvaciją domėtis matematika.

Mūsų mokyklose akcentuojamas gebėjimas spręsti problemas ir uždavinius realiame pasaulyje. Įrodymas yra taip pat problemos ar uždavinio sprendimas tik kitame – matematikos – kontekste. Dažniausiai matematikos faktas yra suprantamas tik tada, kai suprantamas jo įrodymas. Vengdami loginio samprotavimo mokykloje esame priversti riboti mokymą pačiomis skurdžiausiomis priemonėmis – realaus pasaulio iliustracijomis ir pavyzdžiais. Mūsų matematikos vadovėliai tapo iliustruoto pasaulio albumais.

Aritmetika. Tai matematikos sritis, kurioje nagrinėjami skaičiai ir veiksmai su skaičiais. Pradedant natūraliaisiais ir baigiant realiaisiais skaičiais. Šis pavadinimas nėra naudojamas mūsų matematinio ugdymo programose. Mes taip pat nenaudojame algebros ir analizės pavadinimų, bet naudojame geometrijos, statistikos ir tikimybių teorijos sričių pavadinimus. Pagrindinio ugdymo dokumentuose, vietoje aritmetikos, rašoma apie ,,veiklos sritį: Skaičiai ir skaičiavimai“. Todėl verta apžvelgti aritmetikos evoliuciją ir jos dabartinę padėtį.

Iki 19 a. matematika universitete, kolegijose ir vidurinėse mokyklose buvo dėstoma lotynų kalba. Žinoma, kad 1830 metais Jeronimas Stanevičius (1793 – po 1854) buvo parašęs aritmetikos vadovėlį žemaitiškai (85 pusl. J. Kubiliaus knygutėje ,,Antanas Baranauskas ir matematika“). Aritmetikos mokymas Lietuvos mokyklose apžvelgiamas A. Ažubalio knygoje ,,Matematika lietuviškoje mokykloje“. Aritmetikos terminas buvo naudojamas ir tarybiniais laikais.

Skaičių ir jų kilmės istorija yra labai turtinga. Pirmosios žinios priskirtinos skaičiavimui atsirado ir vystėsi kartu su žmogaus kultūra (prieš milijoną metų?). Pirmos mus pasiekusios rašytinės žinios apie skaičius siekia apie 2000-sius metus prieš mūsų erą (Rindu papirusas). Turime išsamią apžvalgą lietuviškai G. Ifrah. Universalioji skaičių istorija.

Žinioms apie skaičius būdinga atskirų faktų ir skaičiavimo metodų forma, naudojama praktinėje veikloje (komercija, statyba ir pan.). Senovės Graikijoje tokios praktinės žinios apie skaičius, susijusios su skaičiavimo technika, buvo vadinamos logistika. Graikų kalba logós reiškė skaičiavimą. Nepraktinio pobūdžio žinios apie skaičius, dabar sakytume teorinio pobūdžio žinios, senovės Graikijoje vadintos aritmetika. Pavyzdžiui, pirmosios žinios apie pirminius skaičius ir jų savybes priskiriamos to meto aritmetikai.

Žodis aritmetika kildinamas iš graikų kalbos arithmetiké, kurį sudaro žodžiai arithmós, skaičius, ir techné, mokslas (pagal Gullbergo knygą Mathematics). Enciklopedijoje Britannica rašoma:

Arithmetic (a term derived from the Greek word arithmos, “number”) refers generally to the elementary aspects of the theory of numbers, arts of mensuration (measurement), and numerical computation (that is, the processes of addition, subtraction, multiplication, division, raising to powers, and extraction of roots). Its meaning, however, has not been uniform in mathematical usage. An eminent German mathematician, Carl Friedrich Gauss, in Disquisitiones Arithmeticae (1801), and certain modern-day mathematicians have used the term to include more advanced topics.

Įdomus Schwartzmano knygoje The Words of Mathematics siūlomas šio termino apibūdinimas:

arithmetic (noun, adjective): from the Greek arithmos “number”, from the Indo-European root ar- “to fit together.” A related borrowing from Greek is aristocrat, presumably a person in whom the best qualities are fitted together. Arithmetic must once have been conceived of as fitting things together, or arranging or counting them. An arith-métic (emphasis on 3rd syllable) series is one in which each term is a fixed number apart from adjacent terms, just as the counting numbers of arithmetic are equally spaced.

Skyrimas tarp logistikos ir aritmetikos tęsėsi Europoje ir viduriniais amžiais, beveik iki 16 amžiaus pradžios. Maždaug nuo tada aritmetikos terminas reiškė tiek praktines tiek teorines žinias apie skaičius, o logistika tapo karyboje naudojamu terminu (100 pusl. Gullbergo knygoje). Tačiau nuo 19 amžiaus sudėtingesnės žinios apie skaičius pradėtos vadinti skaičių teorija, atskiriant šią matematikos sritį nuo aritmetikos.

Dabartinė skaičiaus samprata atsirado tik 19 amžiuje ir yra grindžiama aibės sąvoka bei aksiomomis (Peano aksiomos, realiųjų skaičių aibės aksiomos). Šios žinios apie skaičius vadinamos teorine aritmetika ir mokyklose paprastai nėra nagrinėjamos, nes laikomos esant per daug abstrakčiomis ir sudėtingomis mokiniams. Tačiau būtų idealu, jei šias žinias išmanytų matematikos mokytojas.

Mokyklinės matematikos turiniui priklausančios žinios apie skaičius vadinamos elementariąja aritmetika arba tiesiog aritmetika. Elementariosios aritmetikos faktų aiškinimą ir jų pagrindimą mes vadinsime prasmingąja aritmetika.

Prasmingoji aritmetika. Aritmetika nėra tik skaičiavimo receptų rinkinys. Dar svarbiau tai, kad aritmetika yra paprasčiausia matematikos sritis iliustruojanti matematiką kaip abstrakčių sąvokų hierarchinę sistemą. Be aritmetikos sąvokų gilaus supratimo sunkiai įsivaizduojamas algebros ir kitų matematikos sričių supratimas. Sėkmingas aritmetikos įsisavinimas remiasi supratimu kaip veikia mokinio protas jam bandant suprasti matemjatikios sąvoką.

Šiuolaikinės matematinio mąstymo teorijos grindžiamos principu, kad matematikos supratimas remiasi tam tikrais mentaliniais mechanizmais formuojančiais specialias mentalines struktūras. Kiekvienai matematikos sąvokai formuojama jai atitinkanti mentalinė struktūra. Paprasčiausios tokios struktūros naudojamos kitų, sudėtingesnes matematikos sąvokas atitinkančių, mentalinių struktūrų formavimui. Todėl sėkmingam matematikos mokymuisi labai svarbus yra aritmetikos sąvokinis supratimas.

Egzistuoja keletas požiūrių į mentalinių struktūrų formavimą, besiskiriančių subtiliais ir šiuo metu mums nesvarbiais niuansais. Šių požiūrių esmė yra ta, kad matematinės sąvokos supratimas vystosi palaipsniui atliekant tam tikro pobūdžio veiklas. Pirma, matematinė sąvoka įsisavinama atliekant vieno matematinio objekto pertvarkymą (action) į kitą matematinį objektą. Kartojant ir apmąstant tokį pertvarkymą, jis tampa procesu vadinama mentaline struktūra. Procesas leidžia įsivaizduoti veiksmą tiesiogiai neatliekant pertvarkymo. Antra, procesas yra įsisavinamas atliekant su juo įvairius veiksmus tol, kol jis tampa panašiu į mentalinį objektą. Taigi, procesas tampa objektu. Tai yra dalis sudėtingo mechanizmo, kurį aprašo matematiko Ed Dubinsky sukurta teorija vadinama APOS (trumpinys: actions, processes, objects, schemes).

APOS teoriją iliustruosime trupmenų dalybos sąvokos supratimo pavyzdžiu. Dalinant skaičius suprantamas kaip objektas, o dalyba atsako į klausimą: Kiek daug šio objekto yra dalinyje (tame skaičiuje, kurį daliname)? Aptarkime konkrečios trupmenos 2/3 atvejį. Kaip paprastai, trupmenos aiškinimas pradedamas picos dalinimo pavyzdžiu. Būtent, dalindami picą į tris lygias dalis ir imdami dvi gautas dalis sakome, kad tai yra trupmenos 2/3 iliustracija. Jei mokinys trupmeną suvokia tik kaip tokią dalinimo veiklą, tai jis turi pertvarkymo (action) sampratą. Kartojant tokią veiklą ir ją apmąstant, mokinys gali suformuoti mentalinį procesą, kuriuo jis įsivaizduoja bet kokio objekto dalinimą į tris lygias dalis ir dviejų gautų dalių jungimą. Tai yra trupmenos 2/3 kaip proceso supratimas ir dauguma mokinių neturi su tuo didelių problemų.

Antrasis trupmenos suvokimo etapas yra santykinai sunkus. Tam, kad, pavyzdžiui, 7 dalinti iš 2/3, reikia atsakyti į klausimą: Kiek daug 2/3 yra skaičiuje 7? Tokiu atveju 2/3 turėtų būti įsivaizduojamas ne kaip procesas bet kaip objektas. Priešingu atveju neįmanoma atsakyti į suformuluotą klausimą. Mentalinio proceso 2/3 keitimas mentaliniu objektu 2/3 gali būti sudėtingas ir kai kuriems mokiniams reikalaujantis pagalbos.

Yra pasiūlyta keletas būdų kaip iš mentalinio proceso formuoti mentalinį objektą. Šiame seminare aiškinsimės tokį trupmenos supratimą, kuriuo ji apibrėžiama kaip skaitmuo (tiksliau kalbant, kaip matematinio objekto – racionaliojo skaičiaus – simbolinė išraiška), tuo papildydami įprastą trupmenos aiškinimą remiantis įvairiais realaus pasaulio pavyzdžiais. Tuo pačiu aiškinsimės kaip atitinkamos sąvokos apibrėžimas padeda suprasti aritmetikos veiksmų su trupmenomis taisykles.

Mūsų aptartą mentalinio proceso ir mentalinio objekto konstravimą galima lyginti su mokymu kai bandoma atsakyti į du klausimus: Kaip atlikti skaičiavimo veiksmą? ir Kodėl šis veiksmas duoda teisingą rezultatą? Kitaip kalbant, aritmetikos supratimas pasiekiamas atsakant į du klausimus:

žinoti ,,kaip?“ ir suprasti ,,kodėl?“.

Mokykliniuose vadovėliuose klausimas ,,kodėl?“ paprastai nėra nei formuluojamas nei, tuo labiau, atsakomas. Tą patį galima pasakyti ir apie knygas mokytojams, bei mokytojų ruošimą universitete. Mūsų įsitikinimu, atsakymas į klausimą ,,kodėl?“ suteikia aritmetikai prasmę, o mokiniui – motyvaciją mokytis matematikos.

Plačiau ir kvalifikuotai apie matematinį mąstymą rašoma pirmoje ir paskutinėje cituojamos literatūros sąrašo knygoje.

Liping Ma mokytojų žinių tyrimai. Aritmetikos sąvokų prasmės supratimo problemą gerai iliustruoja Liping Ma knyga Knowing and Teaching Elementary Mathematics. Knygoje pristatomas Kinijos ir JAV matematikos mokytojų elementariosios matematikos žinių gilumo tyrimas. Tyrimui naudojami matematikos sąvokų ir algoritmų aiškinimo klasėje įrašai. Šių dviejų šalių matematinio raštingumo tarptautinio tyrimo rezultatai labai skirtingi. Knygoje pateikto mokytojų darbo tyrimo pristatymas nepalieka abejonių dėl mokinių rezultatų skirtingumo tiesioginių priežasčių.

Trumpai apžvelgsiu Liping Ma knygos trečią skyrių, kuriame aptariami rezultatai gauti stebint kaip mokytojai aiškina tą patį trupmenų dalybos pavyzdį:

$1\frac{3}{4}:\frac{1}{2} =?$ (A)

Kiekvienas mokytojas turėjo atlikti nurodytą dalybos veiksmą ir iliustruoti šio veiksmo prasmę. 43% JAV mokytojų nurodytą veiksmą atliko sėkmingai, bet nei vienas jų nesuprato šio veiksmo prasmės. Tik vienas jų sugebėjo pasiūlyti korektišką veiksmo iliustraciją.

Pavyzdžiui, teisingai veiksmą atlikęs amerikiečių mokytojas aiškino:

Mišrųjį skaičių $1\frac{3}{4}$ paverčiame netaisyklingąja trupmena $\frac{7}{4}$ . Norint $\frac{7}{4}$ padalinti iš $\frac{1}{2}$ , reikia pirmąją trupmeną dauginti iš trupmenos, atvirkštinės antrajai. Taigi, $\frac{7}{4}$ dauginu iš 2 ir gaunu $\frac{14}{4}$ . Po to, dalinu 14 iš 4 tam, kad rezultatą išreikšti mišriuoju skaičiumi, $3\frac{2}{4}$ . Suprastinęs gaunu $3\frac{1}{2}$ .

Kai kurie amerikiečių mokytojai visiškai negalėjo prisiminti dviejų trupmenų dalybos algoritmo.

Visi Kinijos mokytojai nurodytą veiksmą atliko teisingai. Dauguma jų nurodytą veiksmą išreiškė fraze: ,,Dalyba iš skaičiaus yra ekvivalenti daugybai iš atvirkštinio skaičiaus“. Keletas Kinijos mokytojų netgi paaiškino kodėl dauginimas iš atvirkštinės trupmenos duoda reikalingą rezultatą Pavyzdžiui, vienas mokytojas priminė natūraliųjų skaičių dalybos savybę n : m = nk : mk.

Mūsų penktokai žino ,,dalmens reikšmės išsaugojimo taisyklę“. Būtent, padauginus dalinį ir daliklį iš to paties skaičiaus dalmuo nesikeičia. Pavyzdžiui, dalinant 10 iš 2 dalmuo yra 5. Padauginę 10 ir 2, pavyzdžiui, iš 6 gausime 60 ir 12. Dalindami kiekvienos poros pirmąjį skaičių iš antrojo gauname tą patį dalmenį, 5. Toliau, jei dalinį ir daliklį padauginsime iš atvirkštinio dalikliui, tai gautos poros antras skaičius taps 1. Kadangi dalinimas iš vieneto nekeičia dalinio, 1 galime atmesti. Gausime, kad dalinimas yra lygus dauginimui iš atvirkštinio dalikliui. Tą patį atliksime trupmenų dalybai

$1\frac{3}{4} :\frac{1}{2}=(1\frac{3}{4}\times\frac{2}{1}):(\frac{1}{2}\times\frac{2}{1})=(1\frac{3}{4}\times\frac{2}{1}):1=1\frac{3}{4}\times\frac{2}{1}=3\frac{1}{2}.$

Toks aiškinimas padeda mokiniui suprasti siūlomo algoritmo prasmę.

Dauginimas iš atvirkštinio skaičiaus yra standartinis dalybos iš skaičiaus algoritmas. Kinijos mokytojai be šio standartinio algoritmo pasiūlė tris alternatyvius algoritmus šiam konkrečiam pavyzdžiui (A).

Alternatyvūs (A) pavyzdžio skaičiavimai. Pirmoji alternatyva – dalyba naudojant dešimtainės trupmenos išraiškas. Daugiau kaip trečdalis Kinijos mokytojų pastebėjo, kad (A) užduotis gali būti atlikta paprasčiau pavertus trupmenas dešimtainėmis. Būtent

$1\frac{3}{4}:\frac{1}{2}=1.75 : 0.5=3.5=3\frac{1}{2}$ .

Tiesa, toks skaičiavimas ne visada gali būti paprastesnis. Be to, dešimtainių trupmenų naudojimas priklauso nuo to, kurioje programos vietoje yra ši tema.

Antroji alternatyva – distributyvumo dėsnio naudojimas. Distributyvumo dėsnis tai lygybė

$(a+b)c=ac+bc.$

Šį dėsnį galima panaudoti mišrią trupmeną $1\frac{3}{4}$ išreiškus suma $1+\frac{3}{4}$ . Tada gauname

$1\frac{3}{4}:\frac{1}{2}=(1+\frac{3}{4}):\frac{1}{2}=(1+\frac{3}{4})\times\frac{2}{1}=(1\times 2)+(\frac{3}{4}\times 2)=2+\frac{3}{2}=3\frac{1}{2}.$

Šį alternatyvų skaičiavimą pasiūlė septyni Kinijos mokytojai.

Trečioji alternatyva: ,,visai nebūtina dauginti“. Trys Kinijos mokytojai pasiūlė originalų skaičiavimą pagal formulę

$\frac{a}{b}:\frac{m}{n}=\frac{a:m}{b:n}.$ (B)

Kodėl ši formulė teisinga? Pagal apibrėžimą skaičių $\frac{a}{b}$ ir $\frac{m}{n}$ dalmuo yra toks skaičius k, kuriam galioja lygybė

$k\times\frac{m}{n}=\frac{a}{b}.$

Abi šios lygybės puses padauginę iš b ir padalinę iš m gauname

$k\times\frac{b}{n}=\frac{a}{m}.$

Dar kartą panaudoję dalybos apibrėžimą, skaičiaus k išraišką ir tai, kad trupmena yra dalyba, gauname (B) formulę. Panaudoję (B) formulę pavyzdžiui (A), gauname

$1\frac{3}{4}:\frac{1}{2}=\frac{7}{4}:\frac{1}{2}=\frac{7:1}{4:2}=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2}.$

Reikia pastebėti, kad ši alternatyva yra nesudėtingas skaičiavimas tik šiuo atveju, kai skaitiklyje ir vardiklyje galioja dalyba be liekanos.

Beveik visi Kinijos mokytojai nurodė bent vieną korektišką situaciją iliustruojančią veiksmo prasmę. Jų situacijos pasižymėjo didele įvairove ir nekasdieniškumu, bei rėmėsi puikiu savo dalyko išmanymu.

Cituoju Liping Ma knygos trečio skyriaus išvadą (82 pusl.):

Matematikos sąvokų ir procedūrų iliustravimas yra įprasta didaktinė priemonė. Dauguma JAV mokytojų stengėsi iliustruoti trupmenų dalybos taisyklę realaus pasaulio pavyzdžiais. Kinijos mokytojų iliustravimui naudotos situacijos įvairesnės ir mažiau tiesiogiai susijusios su mokinių kasdienybe. Nekelia abejonių, kad mokyklinės matematikos turinio sąsaja su užklasiniu pasauliu padeda įprasminti matematiką. Tačiau naujo matematinio turinio ,,realusis pasaulis“ savaime nesukuria. Nepaisant gero mokinių kasdienybės išmanymo, nepaisant tvirto nusiteikimo remtis mokinių patirtimi, bet gerai nežinant tai, ką norima iliustruoti, neįmanoma pasiūlyti konceptualiai korektiškos iliustracijos.

Matematikos mokymo problemos. Kaip jau minėta, mokyklinės matematikos vadovėliai dažnai yra tik algoritmų, formulių ir faktų rinkiniai. Dar labiau jie panašūs į iliustruoto pasaulio albumus. Juose nėra skiriama dėmesio sąvokų prasmės aiškinimui (angl. understanding of meaning of concepts arba conceptual understanding). Jei sąvokos pateikiamos kaip apibrėžimai, tai dažniausiai tie apibrėžimai yra logiškai klaidingi. Pavyzdžių matysime seminaro eigoje. Tokia pati padėtis yra ir su knygomis skirtomis mokytojams. Elementariosios matematikos pagrindų nėra ir universitetiniuose kursuose skirtuose matematikos mokytojų ruošimui.

Pasekmė – logika nebereikalinga mokyklinei matematikai, o mokiniai prarado galimybę ugdyti loginį mąstymą.

Šios problemos priežastimis arba kliūtimis jai įveikti manau esant:

tradiciją, elementariosios matematikos kursų nebuvo iki šiol;
požiūrį, jog prasmės supratimas atsiranda savaime;
požiūrį, jog prasmės supratimas nesiruošiantiems tapti matematikais nėra būtinas;
tai, kad mokytojo turimos elementariosios matematikos žinios nėra gilios;
tai, kad matematinio ugdymo turinys yra per daug platus ir seklus;
tai, kad matematikų ir matematikos mokytojų bendruomenės nutolo viena nuo kitos.

Sprendžiant klausimą koks turėtų būti matematinis ugdymas, pasirinkimas yra racionalus kai jis yra pagrįstas pakankamai išsamia informacija apie mokyklinę matematiką pasaulyje. Deja, Lietuvoje neturime galimybių ir, matyt, poreikio dalintis informacija apie pasaulinę patirtį sprendžiant matematinio švietimo problemas. Gali būti, kad nemažą problemos dalį sudaro kalbos barjeras.

Mano nuomone, prioritetine veikla turėtų būti matematikos mokytojų įtraukimas į savišvietą. Turėkime galvoje, kad beveik nebeturime jaunų žmonių norinčių tapti matematikos mokytojais. Matematikos mokytojas tampa tikru profesionalu, kai jis žino apie mokomą dalyką daug daugiau negu būtina matematikos pamokai pravesti pagal numatytą programą. Klausimas ,,kiek daug?“ yra sudėtingas. Tai iliustruoja žemiau cituojama H. Howello disertacija. Gilus mokyklinės matematikos išmanymas suteikia naują kokybę matematikos mokymui. Mokytojas yra svarbiausia matematikos mokymo grandis.

Cituojamas literatūra

I. Arnon, J. Cottrill, E. Dubinsky, A. Oktaç, S. Roa Fuentes, M. Trigueros, K. Weller. APOS Theory: A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education. Springer, 2014.
A. Ažubalis. Matematika lietuviškoje mokykloje (XIX a. per. – 1940). Vilnius, Žiburio leidykla, 1997.
J. Gullberg. Mathematics. From the Birth of Numbers. W.W. Norton & Company, 1997.
H. Howell. Characterizing mathematical knowledge for secondary teaching: a case from high school algebra. PhD Thesis, New York University, 2012. http://gradworks.umi.com/35/44/3544000.html
G. Ifrah. Universalioji skaičių istorija. Kaip skaičiai ir skaičiavimas atskleidžia žmogaus išradingumą. Žara, 2013.
J. Kubilius. ,,Antanas Baranauskas ir matematika“. MII, Vilnius, 2001. http://www.mif.vu.lt/ttsk/bylos/ku/files/abar.pdf
Liping Ma. Knowing and Teaching Elementary Mathematics. Teachers‘ Understanding of Fundamental Mathematics in China and The United States. Anniversary addition. Routledge, 2010. Šios knygos trečias skyrius yra čia.
R. James Milgram. What is Mathematical Proficiency. Rinkinyje: ,,Assessing Mathematical Proficiency“, Ed. A.H. Schoenfeld, MSRI Publications vol. 53, 2007. http://library.msri.org/books/Book53/files/04milgram.pdf
Steven Schwartzman. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. 1996.
A.J. Stylianides. Proof and proving in school mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, vol 38, Nor 3, (2007), pp 289-321.
David Tall. How Humans Learn to Think Mathematically. Exploring the Three Worlds of Mathematics. Cambridge University Press, 2013.

Matematika kaip kultūros reiškinys

Prasmingoji aritmetika

Leave a Reply Cancel reply