Šį ir ankstesnius įrašus apie mokyklinės matematikos turinį skiriu matematikos mokytojui. Juose skirtingais aspektais kalbama apie tradicines elementariosios matematikos sąvokas neatsisakant samprotavimų loginio tikslumo. Šiame įraše pagrindinį dėmesį skiriu J. Marsdeno ir A. Weinsteino pasiūlytai išvestinės sampratai iš knygos Calculus Unlimited (1981). Jų išvestinė ypatinga tuo, kad apibrėžime naudojamos paprasčiausios funkcijų savybės ir nėra naudojama ribos samprata. Nepaisant to, Marsdeno-Weinsteino išvestinė ekvivalenti tradicinei išvestinei, kuri yra skirtuminio santykio riba išreiškiama terminais. Anksčiau apie kitas išvestinės formas rašiau čia ir čia.
Motyvacija Marsdeno-Weinsteino išvestinės apibrėžimui. Tarkime, kad objektas juda išilgai tiesės kuria nors kryptimi. Jo judėjimą galima apibūdinti funkcija f išreiškiančia priklausomybę tarp nueito kelio y ir judėjimo laiko x, t.y. y = f(x). Paprasčiausią judėjimą apibūdina afininė funkcija. Būtent, tegul d ir m yra realieji skaičiai. Funkcija L su reikšmėmis L(x) = d + m x kiekvienam x iš R vadinama afinine. Mokyklinėje matematikoje funkcija L vadinama tiesine, nes jos grafikas tiesė. Analizinėje geometrijoje L(x) vadinama tiesės L lygtimi, o m vadinamas šios tiesės krypties koeficientu
Sakoma, kad objekto judėjimas yra tolygus, jei jo padėties priklausomybę nuo laiko išreiškianti funkcija yra afininė. Tolygaus judėjimo greičiu vadinamas jį išreiškainčios afininės funkcijos krypties koeficientas. Šis greitis nepriklauso nuo laiko arba, kitaip tariant, yra pastovus. Mus domina klausimas: kaip apibūdinti netolygaus judėjimo greitį?
Atsakant į šį klausimą reikia sugalvotį taisyklę, kuri kiekvienam laiko momentui priskirtų judėjimo kintamumą apibūdinantį skaičių. Tokia taisyklė vadinama momentiniu greičiu. Netolygiai judančio objekto momentinio greičio taisyklę fiksuotu laiko momentu galima bandyti įvertinti netolygų judėjimą lyginant su tolygiu judėjimu.
Tarkime, kad automobilis A juda netolygiai trijų juostų kelyje vidurine juosta. Vertinsime A automobilio momentinį greitį 12 valandą. Jo judėjimą lyginsime su pirmąja ir trečiąja juostomis tolygiai judančiais automobiliais B ir C. B automobilio greitis 100 km/h ir C automobilio greitis 95 km/h. Tarsime, kad 12 valandą visi trys automobiliai susilygino kelyje. Iki 12 valandos ir po 12 valandos automobilių padėtį vaizduoja piešinys:
Šio vertinimo rezultatu yra faktas, kad A automobilio momentinis greitis 12 valandą buvo tarp 95 km/h ir 100 km/h. Tikslinant vertinimą reikėtų keisti tolygiai judančių B ir C automobilių greičius.
Apibendrinant šį vertinimą tarkime, kad netolygiai judančio automobilio A nueito kelio priklausomybę nuo laiko išreiškia funkcija f, o tolygiai judančius automobilius B ir C apibūdina afininės funkcijos L1 ir L2, atitinkamai. Iki 12 valandos A ir B automobilių nueito kelio skirtumas išreiškiamas funkcijų skirtumo f – L1 reikšme buvo neigiamas, A ir C automobilių nueito kelio skirtumas f – L2 buvo teigiamas. Po 12 valandos šių skirtumų ženklai pasikeitė. Toks vertinimas gali būti tęsiamas mažinant tolygiai judančių automobilių greičių skirtumą. Jei pavyksta šį skirtumą sumažinti iki vieno skaičiaus, tai jis ir galėtų būti netolygiai judančio automobilio momentinis greitis.
Marsdenas ir Weinsteinas panaudojo šį momentinio greičio vertinimo būdą apibrėždami savo funkcijos išvestinės variantą.
Marsdeno-Weinsteino išvestinė. Pagrindine funkcijos savybe naudojama apibrėžiant išvestinę yra jos ženklo pasikeitimas kertant -ų ašį.
Apibrėžtis. Tegul yra funkcija iš R į R ir yra realusis skaičius. Sakoma, kad taške funkcija keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą, jei egzistuoja toks atvirasis intervalas kuriam priklauso ir teisingi du teiginiai (implikacijos):
(1) jei tai ir (2) jei tai
Atvirkščiai, sakoma, kad taške funkcija keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą, jei egzistuoja toks atvirasis intervalas kuriam priklauso ir teisingi du teiginiai (implikacijos):
(1) jei tai ir (2) jei tai
Tegul yra funkcija ir yra realusis skaičius priklausantis apibrėžimo sričiai. Jei yra afininė funkcija su reikšmėmis kiekvienam iš R, tai jos grafikas eina per tašką kai . Sakysime, kad funkcija su reikšmėmis yra afininė funkcija per tašką
Apibrėžtis. Tegul yra funkcija iš R į R, yra realusis skaičius ir , , yra rinkinys afininių funkcijų per tašką Sakysime, kad funkcija diferencijuojama Marsdeno-Weinsteino prasme taške jei egzistuoja toks realusis skaičius , kuriam teisingi du teiginiai:
(1) kiekvienam taške funkcija keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą ir
(2) kiekvienam taške funkcija keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą.
Skaičių apibrėžtą šiais dviem teiginiais, vadinsime funkcijos MW-išvestine taške ir žymėsime
MW-išvestinė, jei egzistuoja, yra vienintelė. Iš tikro, jei yra du skirtingi skaičiai ir tenkinantys MW-išvestinės apibrėžimą, tai skaičius lygus yra tarp ir . Tokiu atveju funkcija taške turėtų keisti ženklą iš teigiamo į neigiamą ir iš neigiamo į teigiamą, kas yra neįmanoma.
Paprasčiausi MW-išvestinės skaičiavimo pavyzdžiai. Marsdeno ir Weinsteino knygoje Calculus Unlimited yra daug MW-išvestinės skaičiavimo pavyzdžių. Taip pat ir jos taikymo pavyzdžių tiriant funkcijas. Čia apsiriboju paprasčiausiu pavyzdžiu norėdamas tik iliustruoti sąvokos naudojimą.
Tarkime, kad yra funkcija su reikšmėmis visiems ir yra realusis skaičius. Rasime šios funkcijos MW-išvestinę taške . Šiuo atveju funkcija įgyja reikšmes
Ši funkcija taške keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą kai arba kai Kadangi ši savybė turi būti teisinga kiekvienam tai turi būti teisinga nelygybė Atvirkščiai, ši funkcija taške keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą kai arba kai Kadangi ši savybė turi būti teisinga kiekvienam tai turi būti teisinga nelygybė Taigi, reikšmė yra funkcijos MW-išvestinė taške
Sudėtingesniems pavyzdžiams, tokiems kaip verta prieš tai įsisavinti tolydumo sąvoką.
MW-išvestinė ir Weierstrasso išvestinė. Geriausiai naują sąvoką paaiškina jos palyginimas su jau žinoma sąvoka. Įprasta išvestinė yra apibrėžiama kaip riba Weierstrasso prasme, arba, kaip dar sakoma, riba terminais. Priminsiu šią sąvoką.
Apibrėžtis. Tegul yra funkcija iš R į R ir yra realusis skaičius. Sakoma, kad diferencijuojama (Weierstrass‘o prasme) taške jei egzistuoja toks realusis skaičius kuriam teisingas teiginys: kiekvienam egzistuoja toks , kad bet kuriam teisinga implikacija
jei tai
Kitaip tariant, jei egzistuoja riba Jei diferencijuojama taške tai riba (skaičius ) vadinama funkcijos išvestine taške ir žymima
Teorema. Tegul yra funkcija iš R į R ir yra realusis skaičius. Skaičių apibūdinantys teiginiai (i) ir (ii) yra ekvivalentūs, čia
(i) egzistuoja MW-išvestinė ir lygi
(ii) egzistuoja išvestinė ir lygi
Įrodymas. Pirma, įrodysime implikaciją iš (i) į (ii). Tarkime, kad egzistuoja MW-išvestinė ir lygi Tegul ir Pagal prielaidos pirmąją dalį, egzistuoja taško aplinka kurioje funkcija keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą. Tegul Kai tai
arba
Kadangi tai, padalinę pastarąją nelygybę iš ir pertvarką, gauname
Kai tai
arba
Padalinę pastarąją nelygybę iš ir pertvarką, gauname tą pačią (1) nelygybę. Taigi, (1) nelygybė teisinga tiems , kuriems
Tegul Panašiai naudodami prielaidos antrąją dalį, gauname tokį kad nelygybė
teisinga tiems kuriems Tegul Tada, apjungę (1) ir (2) nelygybes, gauname, kad nelygybė
teisinga tiems kuriems Teiginys (ii) įrodytas.
Antra, įrodysime implikaciją iš (ii) į (i). Tarkime, kad egzistuoja išvestinė ir lygi Pasirinktam įvertinsime funkcijų skirtumo ženklą taško aplinkoje. Tegul ir Pagal prielaidą egzistuoja toks kad nelygybė
teisinga visiems kuriems Tegul Tada ir, daugindami (3) nelygybę iš gauname
arba
Tegul Tada ir, daugindami (3) nelygybę iš gauname
arba
Gavome, kad taško aplinkoje funkcija keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą, t.y. galioja MW išvestinės pirmoji dalis. Kai imdami ir panašiai samprotaudami gauname, kad taško aplinkoje funkcija keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą, t.y. galioja MW išvestinės antroji dalis. Teiginys (i) ir, tuo pačiu, teorema yra įrodyti.
MW-išvestinė ir funkcijos grafiko liestinė. Prieš metus įkėliau įrašą, kuriame priminiau apie Irl C. Bivenso pasiūlytą funkcijos grafiko liestinės apibūdinimą. Įraše parodyta, kad funkcijos grafikas turi liestinę taške tada ir tik tada, kai egzistuoja išvestinė tame taške. Šis faktas kartu su pastarąja teorema įrodo, kad funkcijos grafiko liestinės egzistavimas taške taip pat ekvivalentus MW-išvestinės tame taške egzistavimui. Norint geriau suprasti išvestinę galima bandyti tiesiogiai palyginti liestinės egzistavimą su Marsdeno-Weinsteino išvestine. Priminsiu liestinės sąvoką.
Apibrėžtis. Tegul yra funkcija iš R į R ir yra realusis skaičius. Tiesė nubrėžta per tašką vadinama funkcijos grafiko liestine taške , jei su kiekviena kita tiese einančia per tašką egzistuoja tokia taško aplinka kad nelygybė
teisinga kiekvienam
Kaip jau minėta, jau įrodytų faktų išvada yra teiginys
Išvada. Tegul yra funkcija iš R į R ir yra realusis skaičius. Skaičių apibūdinantys teiginiai (i) ir (ii) yra ekvivalentūs, čia
(i) egzistuoja MW-išvestinė ir lygi ;
(ii) kiekvienam skaičiui egzistuoja tokia taško aplinka kad nelygybė
teisinga kiekvienam
Kitos lemos įrodymas rodo, kad galima tiesiogiai įrodyti pastarosios išvados implikaciją iš (ii) į (i).
Lema. Tegul yra funkcija iš R į R, yra realieji skaičiai ir Tarkime, kad visiems iš taško aplinkos teisinga (4) nelygybė. Tada funkcijų skirtumas taško aplinkoje keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą.
Įrodymas. Kiekvienam skaičiui teisinga tapatybė
Parodysime, kad (4) nelygybė, pastaroji tapatybė ir jos paskutiniojo nario ženklas apsprendžia skirtumo ženklą. Tegul Tokiems ir teisinga nelygybė
Norėdami įrodyti, kad tarkime, kad teisinga priešinga nelygybė Naudodami (6) nelygybę ir (5) tapatybę, gauname Panaudojus šiuos reikšmių ženklus vertinant modulius, (4) nelygybė įgyja išraišką
Suprastinę, gauname nelygybę kuri prieštarauja (6) nelygybei. Todėl nelygybė teisinga atveju
Tegul Lyginant su (6), tokiems ir teisinga kita nelygybė
Norėdami įrodyti, kad tarkime, kad teisinga priešinga nelygybė Naudodami (7) nelygybę ir (5) tapatybę, gauname Panaudojus šiuos reikšmių ženklus vertinant modulius, (4) nelygybė įgyja išraišką
Suprastinę, gauname nelygybę kuri prieštarauja (7) nelygybei. Todėl nelygybė teisinga atveju Lema įrodyta.
Analogiška lema įrodoma atveju Abi šios lemos įrodo išvados implikaciją iš (ii) į (i) tiesiogiai. Kol kas man nepavyko tiesiogiai įrodyti atvirkštinės implikacijos.
Kokia MW-išvestinės prasmė? Kadangi tai ne pirmas ir gal būt ne paskutinis mano įrašas skirtas išvestinės sąvokai, galima klausti kokia prasmė yra nagrinėti dar ir dar vieną ekvivalenčią sąvoką. J. Marsdenas ir A. Weinsteinas savo išvestinės sampratos vertę mato tame, kad jos apibrėžime tiesiogiai nenaudojama riba K. Weierstrasso prasme. Paplitusi nuomonė, kad pirmą kartą susipažįstančiam su analize žmogui, tris loginius kvantorius apimantis teiginys gali kelti sunkumų. MW-išvestinėje tokia teiginio forma yra užslėpta. Savo knygoje Calculus Unlimited autoriai parodo savo išvestinės sampratos galią įrodydami pagrindinius analizės faktus.
Mano nuomone, sąvokos naudingumas priklauso nuo įvairiausių aplinkybių ir poreikių. Aš vertinu MW-išvestinę kaip dar vieną funkcijos tyrimo priemonę ir aspektą. Kuo tokių priemonių daugiau, tuo geriau suprantamas matematinis objektas. Matematikos istorija rodo, kad išvestinės idėja rutuliavosi ilgai, kas patvirtina objekto ir sąvokos fundamentalumą. Kaip dažnai matematikoje tokiais atvejais atsitinka, bendras sutarimas dėl sąvokos apibrėžimo ateina po ilgo evoliucijos laikotarpio. J. V. Grabiner savo istorinėje apžvalgoje rašo:
Historically speaking, there were four steps in the development of today’s concept of the derivative, which I list here in chronological order. The derivative was first used; it was then discovered; it was then explored and developed; and it was finally defined. That is, examples of what we now recognize as derivatives first were used on an ad hoc basis in solving particular problems; then the general concept lying behind these uses was identified (as part of the invention of the calculus); then many properties of the derivative were explained and developed in applications both to mathematics and to physics; and finally, a rigorous definition was given and the concept of derivative was embedded in a rigorous theory.
Tiesą sakant, vargu ar yra pasiektas tas bendras sutarimas dėl išvestinės sąvokos. Jos samprata priklauso nuo ne mažiau fundamentalių tolydumo ir diskretumo, baigtinumo ir begalinumo sąvokų. Dėl jų ginčai neblėsta.
Kaip idomu!