Pagrindiniai teiginiai skirti diskusijai seminare Consilium Educationis kovo 29 dieną. Tai Consilium Educationis 2017 m. balandžio mėn. 20 d. daryto pranešimo tęsinys (tekstas čia). Šį kartą pasidalinsiu faktais, kuriuos sužinojau šio mėnesio 1-2 dieną vykusiame EBPO organizuotame seminare 2030 Curriculum Analysis Planning. Be to, pasidalinsiu tuo, ką per pastaruosius metus pavyko išsiaiškinti apie matematinio samprotavimo ugdymo sunkumus Lietuvoje.
Pernykščiame seminare teigiau ir įrodinėjau, kad matematinio samprotavimo atsisakymas – klaida mūsų matematikos mokyme. Nauja žinia ta, kad 2021 metų PISA tyrime 25% užduočių priklausys nuo grynosios matematikos žinių, t.y. matematinio samprotavimo supratimo. Mokinių pasiekimai šiame tyrime yra tarp strategijos ,,Lietuva 2030”pažangos rodiklių. Kadangi ligi šiol PISA tyrimų užduotys neskatino mūsų mokinių gilinti matematikos žinių, valstybės strategijos siejimą su PISA tyrimu laikiau akmeniu pakabintu ant mūsų švietimo kojų. Numatomas PISA tyrimo užduočių priklausomumas nuo grynosios matematikos žinių gilumo, akmenį prie kojos gali paversti balionu rankoje. Norėdama įgyvendinti pažangos strategiją nauja valdžia bus priversta realiai keisti mokyklinės matematikos turinį.
Lieka klausimas: Ar mes pajėgūs gilinti mokyklinės matematikos turinį? Tokia veikla reiškia gebėjimo samprotauti matematiškai ugdymą. Naivu tikėtis, kad visi vienodai suprantame, kas yra matematinis samprotavimas ir kaip jį ugdyti. Kita vertus, egzistuoja pavojus, kad bus bandoma eiti lengviausiu keliu – treniruoti vaikus spręsti naujo tipo užduotis, nebandant keisti reikalavimų ugdymo turinio gyliui. Apie šiuos dalykus kalbėsiu toliau.
Pranešimo planas:
- Šių dienų visuomenės poreikius atitinkantis matematinis raštingumas (literacy): procedūrinės žinios ir matematinis samprotavimas.
- Mokyklinės matematikos turinys (curriculum): taikomoji matematika ir grynoji matematika.
- Galimybė mokytis (opportunity to learn): mažumai ar daugumai.
- Matematinio raštingumo ugdymo perspektyvos.
Matematinis raštingumas
Matematinis raštingumas – individo gebėjimas formuluoti, naudoti ir interpretuoti matematiką įvairiuose kontekstuose. Jis apima gebėjimą samprotauti matematiškai ir gebėjimą aprašyti, aiškinti ir prognozuoti tikrovės reiškinius naudojant matematikos sąvokas, procedūras, faktus ir priemones. Jis padeda individui suprasti matematikos vaidmenį pasaulyje ir priimti pagrįstus sprendimus. (Pagal EBPO, 2013.)
EBPO ėmėsi iniciatyvos išplėsti šią matematinio raštingumo sampratą sureikšminant ir pagilinant matematinį samprotavimą. XXI amžiuje gebėjimas pagrįsti matematiškai remiantis žinomais faktais yra kritiškai svarbus, nes jis pritaikomas ne matematiniame kontekste. Gebėjimas samprotauti matematiškai yra būtinas pagrindžiant savo nuomonę arba analizuojant kitų žmonių nuomones [Make Math Great Again]. Šis gebėjimas ugdomas nepalyginamai sunkiau negu dabartinis procedūrų mokymas mintinai ir jų taikymas sprėsti standartinius uždavinius.
Priminsiu, kad matematiniu samprotavimu vadinamas matematinis diskursas, kuriam būdinga:
- kiekviena sąvoka yra apibrėžiama jau turimų žinių pagrindu ir yra naujų žinių struktūros dalimi;
- kiekvienas teiginys yra nedviprasmiškas ir formuluojamas taip, kad būtų aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma;
- kiekvienas teiginys yra pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu;
- matematikos žinios yra orientuotos į tikslą ir sprendžia kurią nors problemą.
Matematinis samprotavimas siekia supratimo, aiškumo, tikslumo ir tuo skiriasi nuo mokymosi, kuriame svarbu tik gebėjimas naudotis standartiniais algoritmais, nesuprantant jų prasmės.
Ką reiškia, kad PISA 2021 ketvirtadalis užduočių bus susiję su matematiniu samprotavimu? Tokios užduoties pavyzdžiu yra prašymas paaiškinti nurodytų dviejų dviženklių skaičių sandaugą išreikštą trimis skirtingais nestandartiniais būdais.
Kitos užduoties pavyzdys:
Remiantis daugiau kaip 100 metų miesto istorija žinoma, jog kas dieną yra vienas šansas iš penkių, kad netoli miesto esančiame miške gyvenantys rudieji lokiai pasirodo žmonėms prie miesto šiukšlyno. Jūsų mobilusis telefonas gavo miesto žinutę, kad lokiai pasirodė vakar. Todėl nusprendėte nebandyti pamatyti lokių sekančias keturias dienas.
- Ar toks sprendimas išmintingas; kodėl taip arba kodėl ne?
- Kaip planuotumėte kelionės laiką jei norėtumėte pamatyti lokius?
EBPO seminarui kovo 1-2 dienomis vadovavo William H. Schmidt. Jis žinomas kaip vienas iš TIMSS tyrimo organizatorių. Kalbėdamas apie matematinį samprotavimą jis teigė, kad visas mokyklinės matematikos turinys turėtų iliustruoti matematikos hierarchinės struktūros svarbą. Kalbėjo apie tai, kad skaičiaus sąvoka, funkcijos sąvokas, dispersijos sąvoka turėtų būti iliustruojamos skirtingose matematikos dalyse.
Pateiktoje lentelėje išvardintos pagrindinės mokyklinės matematikos turinio idėjos, kurios apjungia matematikos faktus. Akcentuojant pagrindines idėjas matematika įgyja suprantamą pavidalą, skirtingą nuo palaidų faktų rinkinio. Matematikos programa turėtų būti taip sudaryta, kad joje išryškėtų pagrindinės idėjos.
Nauji pokyčiai suartina PISA su TIMSS. Numatoma, kad abu tyrimai sieks sureikšminti grynosios matematikos statusą. PISA kaip ir anksčiau orientuosis į realaus pasaulio užduočių formatą, o TIMSS orientuosis į akademinės matematikos užduočių formatą.
Dar daugiau. EBPO planuoja 2030 metams parengti pasaulio šalių matematikos turinio programų (curriculum) analizę, kurioje atsispindėtų grynosios matematikos gylis. Bus tiriamas 1-8 klasių matematikos turinys. Tas pats bus daroma su 7-8 klasių matematikos vadovėliais.
Šie planai iš dangaus nenukrito. Juos suformavo nuoseklių tyrimų rezultatai. Pavyzdžiu yra studija “Equations and Inequalities. Making Mathematics Accessible To All” publikuota 2016 birželio 20 d. Šioje studijoje detaliai pristatomi ir paaiškinami toliau mano pateikiami rezultatų pavyzdžiai.
Mokyklinės matematikos turinys
Minėto tyrimo rezultatai rodo, kad mokinių pažintis su grynąja matematika ir jų pasiekimai matematikoje yra stipriai susiję ir šis ryšys stiprėja, kai sunkėja matematikos užduotys.
[originalas: The results show that exposure to pure mathematics has a strong association with performance that tends to increase as the difficulty of mathematics problems increases.]
Ryšys tarp mokinių pažinties su grynąja matematika ir jų pasiekimais, bei mokinių pažinties su taikomąja matematika ir jų pasiekimais išreiškiamas kiekybiškai. Pavyzdžiui, pažinties su grynąja matematika indekso padidėjimas vienu vienetu, Lietuvos vidutinio moksleivio įvertinimą PISA pasiekimų skalėje padidina 36 taškais. Tuo tarpu, pažinties su taikomąja matematika indekso padidėjimas vienu vienetu, Lietuvos vidutinio moksleivio įvertinimą PISA pasiekimų skalėje padidina tik 8 taškais.
Mokinių pažintis su grynąja matematika matuojama jų deklaruota patirtimi su tomis matematikos užduotimis, kurios sprendžiamos pamokų metu mokykloje, ir kurioms reikia algebros žinių (tiesinės ir kvadratinės lygtys). Ši patirtis įvertinama indeksu vadinama normuota skale (jos nuliu yra OECD vidurkis, o standartinis nuokrypis lygus vienam).
Mokinių pažintis su taikomąja matematika matuojama jų deklaruota patirtimi atitinkamomis matematikos užduotimis, kurios sprendžiamos pamokų metu mokykloje. Užduoties pavyzdys: naudojant traukinių tvarkaraštį, apskaičiuoti kaip ilgai reikia keliauti traukiniu iš vienos vietos į kitą. Kitos užduoties pavyzdys: apskaičiuoti kiek padidės kompiuterio kaina, jei į ją bus įskaičiuoti mokesčiai. Pažintis su taikomąja matematika taip pat įvertinama analogiška normuota skale, vadinama indeksu.
Pav. pagal William H. Schmidt.
Ši diagrama reiškia, kad egzistuoja momentas po kurio papildomos taikomosios matematikos žinios mokinių rezultatus tik blogina. Analogiška diagrama siejanti grynosios matematikos indeksą su matematiniu raštingumu turi skirtingą formą – tiesinę funkciją. Kuo daugiau grynosios matematikos tuo rezultatai geresni nepriklausomai nuo grynosios matematikos kiekio. Rezultatai statistiškai reikšmingi visoms tirtoms šalims.
Matematikos turinio (curriculum) vaidmenį mokinių pasiekimams jau senokai nagrinėja TIMSS. Geriausius mokinių pasiekimus turinčių šalių programos turi specifinę formą. Temos, jų mokymo trukmė ir išdėstymas pagal klases turi griežtą hierarchinę struktūrą. Ją iliustruoja kita diagrama.
Pav. daugiau kaip dviejų trečdalių geriausius pasiekimus turinčių šalių programa (pagal TIMSS).
Priminsiu, kad pastarąjį rudenį Vilniuje viešėjęs EBPO atstovas Andreas Schleicher teigė: mokyklinio ugdymo programa turėtų siekti RIGOR, FOCUS and COHERENCE. Pristatydamas čia minimą studiją “Equations and Inequalities” jis išsireiškė tiksliau:
“Our analysis is [that] when students have really understood the foundations, they can extrapolate. They can apply that knowledge in another context,” said Schleicher. “However, if they only teach students tips and tricks, how to solve small everyday problems, they know how to solve those problems, but they’re not good at transferring that knowledge to another context.”
W.H. Schmidt perspėja, kad matematikos programos gerinimas gali bloginti pasiekimų rezultatus, jei nebus mažinami matematikos mokymo prieinamumo skirtumai.
Galimybė mokytis
Socialinė nelygybė ir švietimas yra milžiniška sritis, kurios nenoriu čia aptarinėti. Parodysiu tik vieną diagramą svarbią kalbant apie matematikos mokymo turinio prieinamumą. Mes nuo pradinių klasių pradedame rūšiuoti vaikus pagal jų ,,matematinius gabumus“ remdamiesi paviršutiniais požymiais.
SES – socioeconomc status ir OTL – Oportunity To Learn arba galimybė mokytis. Tyrimai parodė, kad pasiekimų skirtumai yra paaiškinami skirtingomis galimybėmis mokytis. Kita diagrama rodo kokią dalį pasiekimų skirtumams atsirandantiems dėl socialinio ekonominio statuso (SES) sudaro skirtingos galimybės mokytis (SES indirect). SES direct atspindi šeimos pajamas ir tėvų išsilavinimą. Pavyzdžiui, Olandijoje skirtumai pagal tai ko yra mokomi vaikai generuoja 58% pasiekimų skirtumų tarp turtingų ir vargšų. Korėja, Australija ir Jungtinės Karalystės yra šalys, kuriose didžiausi skirtumai tarp galimybių mokytis. Pavyzdžiui, Australijoje yra trys ar keturios skirtingo lygio matematikos mokymo klasės viduriniame ugdyme (jei gerai pamenu?). Paprastai didesnes pajamas turinčios šeimos leidžia savo vaikus į elitines mokyklas, kuriose matematikos programa praeinama giliau. Švedijoje, Estijoje, Lenkijoje vaikų galimybės mokytis skiriasi santykinai mažai. Nors Švedijoje prieinamumas mokytis vienodas, bet dideli skirtumai SES direct lemia pasiekimų skirtumus.
Pav. pagal William H. Schmidt.
Matematinio raštingumo ugdymo perspektyvos
Mūsų galimybės siekti matematinio raštingumo priklauso nuo:
- ŠMM atvirumo ir noro bendradarbiauti. Čia aptariama naujoji matematinio raštingumo samprata buvo pasiūlyta 2013 metais matematikos mokymo gairėse (žiūrėk čia). Tiesiog perrašius dabartinę programą laikantis „RIGOR, FOCUS and COHERENCE“ reikalavimo nebus tų, kurie sugebės ja naudotis.Programos keitimas turėtų būti susietas su mokytojų kvalifikacijos kėlimu.
- Mūsų pasiryžimo keisti požiūrį į pradinio ugdymo svarbą. Dabartinis požiūris: skaičiuoti pradinėse klasėse gali mokyti bet kas. Bet kurie pokyčiai turėtų prasidėti pradiniame ugdyme. Mokytojų kvalifikacijai reikalingi realūs reikalavimai – nacionaliniai egzaminai ar panašiai.
- Pripažinimo, kad matematikos mokymo turinys yra matematikos sritis, ne matematikos didaktikos. Matematikos turinio kaita turėtų būti grindžiama naujausiais matematikos mokymo (mathematics education) srityje atliktų tyrimų rezultatais, o ne edukologijos paradigmomis. Konfliktas tarp didaktikos ir matematikos mokymo kyla naudojant skirtingas metodologines konstrukcijos ir dėl to nesusikalbant tarpusavyje. Galbūt dėl šio nesusipratimo Lietuvoje neturime nei vieno matematikos mokymo srities mokslininko.
- Stereotipo, kad mokyklinei matematikai išmanyti pakanka baigti matematikos studijas universitete, atsisakymo. Šiuolaikinės mokyklinės matematikos turinio žinios nėra įgyjamos studijuojant bet kurią kitą matematikos sritį. Šiuo stereotipu grindžiama VU pedagogikos centro veikimo idėja.