Kaip mes naikiname savo tautos intelektą

Mūsų mokyklinės matematikos silpnoji vieta yra jos mokymas be supratimo. Matematikos mokymą tiriantys mokslininkai matematikos žinias ir jų kokybę klasifikuoja naudodami bent tris kategorijas: faktinės, procedūrinės ir sąvokinės žinios. Sąvokinių žinių kategorija reiškia procedūrų prasmės supratimą. Pavyzdžiui, neigiamųjų skaičių dauginimo taisyklės naudojimas nėra tas pats, kas supratimas kodėl neigiamųjų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius. Mūsų mokyklinė matematika ignoruoja sąvokines žinias. Be sąvokinių žinių, net įrodymas mokiniui neturi prasmės,  jo tenka mokytis mintinai arba jį praleisti.

Supratimas matematikoje ugdomas naudojant daug tarpusavyje suderintų priemonių. Svarbiausia tokių priemonių yra matematiniu samprotavimu grindžiamas mokymas. Matematiniu samprotavimu (sutrumpintai MS) vadinu matematinį diskursą, kuriam būdinga:

– kiekviena sąvoka yra apibrėžiama;

– kiekvienas teiginys yra nedviprasmiškas ir formuluojamas taip, kad būtų aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma;

– kiekvienas teiginys yra pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu;

– kiekviena nauja sąvoka formuojama turimų žinių pagrindu ir yra naujų žinių struktūros dalimi;

– matematikos žinios yra orientuotos į tikslą ir sprendžia kurią nors problemą.

Matematinis samprotavimas siekia supratimo, aiškumo, tikslumo ir tuo skiriasi nuo mokymosi, kuriame svarbu tik gebėjimas naudotis standartiniais algoritmais, nesuprantant jų prasmės. Čia išvardinti MS bruožai yra amerikiečių matematiko H.-H. Wu suformuluoti mokyklinės matematikos turinio principai.

MS iš mūsų mokyklų dingo neatsitiktinai. MS atsisakymas yra nuoseklios ir kryptingos veiklos pasekmė. Jei apsispręstume grąžinti MS į mokyklą, tai būtų sudėtingas, sunkus ir ilgas procesas. Jis turėtų paliesti visus šiuos mokyklinės matematikos aspektus:

• MS ir mokyklinės matematikos turinys;
• MS ir matematikos kompetencijos struktūra;
• MS ir mokinių galimybės;
• matematikos mokytojų ruošimas ir jų kvalifikacijos kėlimas;
• matematikos vadovėlių turinys;
• matematika ir matematikos mokymo politika;
• MS ypatybių aiškinimas tėvams ir visai visuomenei arba reforma nuo apačios.

Jei nebus sėkmingai dirbama bent viena iš šių krypčių, tai MS greičiausiai neturės galimybės prigyti mūsų švietime

MS ir mokyklinės matematikos turinys. Nuolatos teigiama, kad mokykloje reikia vengti įrodymų, nes  tik labai maža dalis mokinių gali juos suprasti. Dauguma taip teigiančių taip pat mano, kad įrodymas yra formaliąja logika besiremiantis dedukcinis samprotavimas ir matematikai suprasti nereikalingas. Kitaip tariant, įrodymas yra tik teiginio teisingumo patvirtinimas, kuris mokyklinėje matematikoje nereikalingas. Tai yra paplitęs stereotipas atsiradęs dėl paviršutiniško požiūrio į matematiką ir klaidingo jos vaidmens šiuolaikinėje visuomenėje suvokimo.

Matematikoje įrodymas nėra tik teiginio teisingumo patvirtinimas. Įrodymas turi ir aiškinamąją funkciją. Mokyklinėje matematikoje ši funkcija yra pagrindine. Tai viena. Antra, įrodymas yra prasmingas tik MS kontekste. Pastarųjų dešimtmečių tyrimai rodo, kad įrodymo supratimas priklauso nuo sąvokinių žinių gilumo ir efektyvių įrodymo strategijų paieškų  (žr. A.J. Stylianides).  Trečia, MS grąžinimas reiškia mokiniui suprantamų matematikos procedūrų aiškinimo būdų paiešką. Tokio aiškinimo, kuris būtų grindžiamas  MS būdingomis savybėmis.

MS grąžinimas į mokyklą esmingai keičia mokyklinės matematikos turinį. MS kontekste sąvokos yra susijusios loginiais ryšiais. Atskiros matematikos žinių dalys sudaro tampriai susijusią hierarchinę sistemą. Be to, ši struktūra turi būti taip suskirstyta, kad atitiktų mokinių suvokimo galimybes atsižvelgiant į jų amžių. MS plėtra yra įmanoma tik atlikus tokią turinio reviziją. Gilinant matematikos mokymą atsiranda poreikis ir galimybė atsisakyti tokių turinio dalių, nuo kurių nepriklauso aritmetikos, geometrijos ir algebros pagrindai. Mokyklinės matematikos turinys gali gerokai sutrumpėti. Jei mokyklinės matematikos turinį lygintume su pastatu, tai matematinio ugdymo programa būtų tokio pastato stogas. Natūralu, kad pastatas statomas arba rekonstruojamas  pradedant nuo pamatų, o ne nuo stogo.

MS ir matematikos kompetencijos. Mūsų matematikos ugdymo programose naudojama matematinės kompetencijos struktūra, kurioje nėra matematinio samprotavimo. Kaip pavyzdį, kuriame yra matematinio samprotavimo gebėjimas, paminėsiu Danijos matematikos mokymui apibūdinti naudojamą matematinės kompetencijos struktūrą (žr. M. Niss, 2003).

• Matematinis mąstymas: klausimų formulavimas ir galimų atsakymo rūšių žinojimas; sąvokos turinio ir jos ribų supratimas; sąvokos turinio praplėtimas naudojantis savybių abstrahavimu; apibendrinimas platesnei objektų klasei; skirtingų matematikos teiginių formų žinojimas (sąlyginiai teiginiai, teiginiai su kvantoriais, prielaidos, apibrėžimai, teoremos, hipotezės, atskiri atvejai).
• Matematikos problemų formulavimas ir sprendimas.
• Matematinis modeliavimas.
• Matematinis samprotavimas: gebėjimas skirti ir suvokti argumentų junginius; žinojimas, kas yra (nėra) įrodymas ir kuo jis skiriasi nuo kitų samprotavimo rūšių; argumentų sekoje išskirti pagrindinę idėją; sugalvoti formalius ir neformalius matematinius argumentus ir gebėti euristinį samprotavimą transformuoti į pagrįstą įrodymą, t.y. gebėti įrodyti.
• Matematikos objektų ir situacijų reiškimas.
• Naudojimasis matematikos simboliais ir formalizmu.
• Matematikos komunikavimas.
• Pagalbinių priemonių naudojimas.

Danų matematinės kompetencijos struktūros pavyzdys aiškiai parodo mūsų matematinio ugdymo siekį išvengti matematinio samprotavimo mokykloje. Palyginimui primenu Lietuvoje matematikos mokymui 11-12 klasėse naudojamą  matematinės kompetencijos struktūrą.

• Žinios ir supratimas demonstruojami: atpažįstant ir teisingai vartojant matematikos sąvokas, žymenis, objektus, modelius; siejant įvairiais būdais pateiktą matematinę informaciją; tiesiogiai taikant žinomas formules, savybes, sąryšius; atliekant standartines procedūras; naudojant formulių rinkinį, skaičiuotuvą.
• Matematinis komunikavimas.
• Matematikos taikymas.
• Matematinis mąstymas demonstruojamas: keliant hipotezes probleminėse situacijose ir jas tikrinant; suskaidant analizuojamą problemą į lengviau įveikiamas, geriau išnagrinėtas dalis; nustatant objektų bei reiškinių sąryšius ir dėsningumus; įrodant teiginių teisingumą; darant tikslias logines išvadas, jas pagrindžiant, argumentuojant, apibendrinant; parodant matematinių idėjų originalumą.
• Problemų sprendimas.
• Mokėjimas mokytis.

Mūsiškių ,,Matematinio mąstymo“ gebėjimus sudaro standartiniai gamtamoksliniai principai. MS elementų ugdymas formaliai perkeltas į pasirenkamąjį modulį, vadinamą ,,logikos įvadu“. Šio modulio paskirtis – ugdyti mokinių gebėjimus argumentuoti, teikti klausimus, nuosekliai mąstyti, konstruoti įrodymus ir pagrįsti įrodymo etapus. Modulis negali pasiekti savo tikslų, nes yra atsietas nuo matematikos turinio, atsiranda tik paskutinėse klasėse ir dažniausiai pakeičiamas ruošimusi brandos egzaminams.

MS ir mokinių galimybės. Frazė: ,,Aš paprasčiausiai nemėgstu matematikos” labai dažnai pasakoma su pasididžiavimu. Arba, laikoma geru tonu sakyti: ,,Aš esu visai negabus matematikai”. Taip vaikams kalba jų tėvai perduodami savąją neapykantą iš kartos į kartą kaip šeimos tradiciją. Panašiai elgiasi matematikos mokytojai įsitikinę, kad tik nedidelė dalis matematikai gabių vaikų yra verti jų dėmesio. Šis stereotipas apie matematinius gabumus turi palankią dirvą visuomenėje, kurioje švietimas grindžiamas prielaida, kad mokymas yra natūralus procesas suteikiantis kiekvienam vaikui pačiam atsiskleisti savo gebėjimus (progresyvioji pedagogika).

Žmonės, kaip ir daugelis gyvūnų, gimsta turėdami primityvius skaičiavimo gebėjimus. Gilesnių mokyklinės matematikos žinių įgyjama tik rimtų pastangų ir darbo dėka. Jau senokai neuromokslininkai išsiaiškino kokiu būdu įgyjamos matematikos žinios. Kaip minėta, matematikos žinios pagal jų tipą ir kokybę skirstomos bent į tris kategorijas: faktines, procedūrines ir į sąvokines žinias. Faktinėmis yra tokios žinios, kurios įgalina atlikti paprastas užduotis remiantis tik atmintimi (pavyzdžiui, daugybos lentelė). Standartiniai uždaviniai ir jų sprendimų algoritmai sudaro procedūrines žinias  (pavyzdžiui, daugiaženklių skaičių daugyba stulpeliu). Sąvokinėmis vadinamos žinios, kurios įgalina suprasti prasmę. Jei procedūrinės žinios atsako į klausimą ,,Kaip?“, tai sąvokinės žinios atsako į klausimą ,,Kodėl?“. Manoma, kad geriausias yra toks matematikos mokymasis, kuriuo procedūrinės ir sąvokinės žinios papildo viena kintą. Taip mokantis, mokyklinę matematiką yra pajėgūs įveikti beveik visi vaikai (žr. D.T. Willingham).  

Atsisakius MS mokykloje netenkama matematikos, kaip kūrybingumo ir kritinio mąstymo ugdymo modelio, bei prarandama galimybė įtakoti tam tikrų vertybių ugdymą. Apie vertybių ugdymą, dar 1928 metais vykusioje mokytojų konferencijoje, kalbėjo  matematikos mokytojas iš Telšių Isakas Golcbergas (54 pusl.):

Matematikoj svarbu ne tik parinktojo kelio tikslingumas, bet ir logiškas jo taisyklingumas. Čia jokiu būdu neleistinas principas: ,,tikslas pateisina priemones“. Čia, kaip ir visur, priemonės turi būti taip pat švarios, kaip ir tikslas. Štai kodėl bestudijuojant matematiką, galima sukelti dorumas, tiesos meilė ir sugebėjimas save kritikuoti – ir tų dorinių pusių  išauklėjimo mokykla neturi užmiršti matematikos dėstyme. 

Matematikos mokytojų ruošimas ir jų kvalifikacijos kėlimas. Ruošiant matematikos mokytojus daroma prielaida, kad aukštosios matematikos žinios yra pakankamos įgyti dalykines kompetencijas. Tikima, kad aukštoji matematika savaime suteikia mokytojui elementariosios matematikos žinias. Tyrimai rodo, kad šiuolaikinės algebros supratimas neturi reikšmingos koreliacijos su mokinių pasiekimais mokyklinėje algebroje. Tuo tarpu mokytojų žinios apie realiųjų skaičių sistemas turi reikšmingą teigiamą koreliaciją su mokinių pasiekimais mokyklinėje algebroje. Kiti tyrimai parodė, kad matematikos bakalaurą turintys matematikos mokytojai negali mokiniui suprantama kalba paaiškinti, pavyzdžiui, aritmetikos veiksmų su trupmenomis. Nenuostabu, nes universitete racionalieji skaičiai ir jų aritmetika apibrėžiami aksiomomis arba konstruojami naudojant ekvivalentumo klases. Šios žinios netinka racionaliuosius skaičius aiškinti 5-oje ar 6-je klasėje (žr. H.-H Wu, 2011). 

Paprastai matematiką universitete baigęs mokytojas elementariąją matematiką moko taip, kaip jis pats buvo mokomas kai mokėsi mokykloje, t.y. procedūras moko mintinai, be paaiškinimų. Norint ugdyti matematinį samprotavimą atsiranda įdomus uždavinys sugalvoti tokį, pavyzdžiui, trupmenų aritmetikos aiškinimą, kuris būtų adekvatus mokinių amžiui ir atitiktų matematinio samprotavimo reikalavimus. Tokio uždavinio sprendimų jau yra ne vienas, nors tobulėjimui ribų nėra. Ruošiant būsimus ir esamus matematikos mokytojus reikia tinkamai papildyti studijų programą. Tai tampa problema, kai mokytojai ruošiami pagal gretutinių studijų programą. Tokiu atveju elementarioji matematika neturi galimybių tapti nei pagrindinių matematikos studijų, nei papildomų dalyko pedagogikos studijų mokomuoju dalyku. Tokių studijų skelbimas esant ,,geriausių mokytojų“ kalve yra priešlaikinis.

 Ne mažesnė problema yra pradinių klasių mokytojai, kurie ruošiami dėstytojų neturinčių matematinio išsilavinimo. Tokia praktika Lietuvoje priimta jau daug metų. Toks sprendimas priimtas nepaisant to, kad būtent pirmose mokyklos klasėse (ne)padedami matematinio ugdymo pagrindai. 

Matematikos vadovėlių turinys. Faktiškai vadovėlių turinys yra vienintelė matematikos mokytojų pagalbinė priemonė. Rimtesni pokyčiai matematikos turinyje ir mokyme gali rastis tik keičiant vadovėlių turinį. Tačiau įtakoti vadovėlių turinį mes neturime priemonių, nes leidyba yra privatus verslas. Verslui vadovėlis tinkamas, jei jis perkamas. Tai viena. Antra, vadovėlių autoriais leidyklos nori matyti mokytojus, nes jie geriausiai žino kokie vadovėliai mėgstami tarp mokytojų. Tačiau mokytojai, dėl jų netinkamo paruošimo, negali padėti vadovėliuose atsirasti matematinio samprotavimo požymių.  Trečia, dabartinė vadovėlių vertinimo tvarka neleidžia bent kiek reikšmingiau įtakoti vadovėlių turinį; įmanomi tik kosmetiniai pataisymai. Kol šis uždaras ratas vienaip ar kitaip nebus pralaužtas, jokių reikšmingų pokyčių matematikos mokyme nebus, net ir nesiekiant grąžinti į mokyklą matematinį samprotavimą.

MS ir matematikos mokymo politika. Matematikos mokymo politika priklauso nuo tą politiką formuojančių ir vykdančių žmonių požiūrio į matematikos esmę ir prigimtį. Jei matematika suvokiama tik kaip mokslo kalba, tai matematikos mokymui keliami tikslai ribojami pažindinimu su matematikos procedūromis ir jų taikymais kasdieniniame gyvenime. Jei matematika laikoma kultūros dalimi, tai mokyklinė matematika laikoma vienu iš bazinių dalyku, vertingu pačiu savaime. Pats politikos priklausomumo nuo pasaulėžiūros faktas nestebina, bet problemas sukuria dažnai pasitaikantis savojo požiūrio suabsoliutinimas ir priešinimasis kitokiu požiūriu besiremiančiai politikai  (žr. Niss 2014).

Matematikos mokymo be matematinio samprotavimo politinį sprendimą galėjo nulemti mūsų ŠMM darbuotojų požiūris į tai, kas yra matematika. Dar 1994 metais buvo siūloma matematikos mokyme vengti ,,perdėto formalizmo“, nes ,,matematika yra integralaus pasaulio suvokimo instrumentas“.

Matematinio samprotavimo ignoravimas suponuoja matematikos ugdymo kokybės vertinimą, kuriuo nėra tiesiogiai skatinamas  PISA matematikos tyrimuose 5-ąjį ir 6-ąjį lygius pasiekusių mokinių skaičiaus didėjimas. Visuose mūsų švietimo dokumentuose, nusakant konkrečius ugdymo tikslus, pasitenkinama 3-iuoju pasiekimų lygmeniu, kuriam matematinio samprotavimo gebėjimai nėra būtini. Tokia pati vertinimo politika yra skaitymo bei gamtos mokslų srityse, matyt, nujaučiant, kad mokinių aukšti pasiekimai skirtingose disciplinose yra tarpusavyje priklausomi.

MS ypatybių aiškinimas tėvams ir visai visuomenei arba reforma nuo apačios. Jei būtų nuspręsta grąžinti MS į mokyklas, tai tokia reforma būtų gili ir sunki. Kaip rodo kitų šalių patirtis tokių reformų sėkmė priklauso nuo visuomenės palaikymo. Jo galima tikėtis, nes tėvai yra suinteresuoti geru savo vaikų išsilavinimu. Bet tokiam palaikymui būtina aiškinti matematikos esmę ir jos vaidmenį visuomenės kultūrai.

Dar kartą pacituosiu mokytojo iš Telšių Isako Golcbergo mintis apie matematikos mokymą. Šios citatos liudija jo požiūrį į matematiką, kaip savaiminę vertybę ir jos reikšmę perteikiant ,,kultūros laimėjimus jaunajai kartai“ (53 pusl):

Matematikai besiplečiant ne tik padaugėjo mūsų pozityvinių žinių, bet ji taip pat išugdė žmogaus proto ir dvasios jėgas. Tų jėgų sustiprinimas moksleiviuose ir sudaro formalinį matematikos dėstymo tikslą. Pirmoj vietoj čia stovi abstrakcijos gabumų auklėjimas. Aiškių sąvokų kūrimo būtinumas verčia matematiką pagauti ir nučiupti esmę reiškinių įvairume ir tąją esmę išreikšti tinkama forma. Nėra ko kalbėti, kaip svarbu gyvenime mokėti skirti esminė dalyko pusė nuo neesminių, ir šitą mokėjimą mokinys turi gauti mokykloj studijuodamas matematiką.  

Antrąjį visų pripažintą formalinį matematikos dėstymo tikslą sudaro logiško galvojimo pratinimas ir taisyklingų logiškų išvadų sudarymas. Grakštus matematikos, ypač geometrijos, pastatas visuomet buvo griežtai logiškos deduktyvinės sistemos pavyzdys. Kad mokiniai išmoktų logiškai galvoti, reikia mokėti tiksliai ir trumpai reikšti savo mintis, to ir turi siekti matematikos dėstymas.

Golcbergas gimė 1885 metais, o matematiką studijavo Charkovo universitete. 1921-1925 m. buvo Telšių žydų mergaičių gimnazijos ,,Javne“ direktorius, kartu 1923-1925 m. – ir žydų mokytojų seminarijos direktorius. Vėliau mokytojavo toje pačioje gimnazijoje. Dėstė matematiką, fiziką, gamtos mokslus. Tolesnis jo likimas nežinomas (žr. A. Ažubalis).  

Bet Golcbergo požiūris į matematiką kaip į tautos intelekto ugdytoją neišnyko šiais laikais. Tai liudija tokie a.a. akademiko Broniaus Grigelionio žodžiai:

Kad ir kaip apibūdintume matematiką – mokslo tarnaite ar mokslo karaliene, kiekviename krašte ir kiekvienoje epochoje matematinės kultūros lygis ženklia dalimi apibrėžia bendrą kultūros lygį. Ugdydami matematinius gabumus kaip Dievo dovaną, gausiname didžiausią lobyną – tautos intelektą ir drauge gretinamės su civilizuotomis tautomis.

Literatūra:

A. Ažubalis. Iš Lietuvos matematinio švietimo praeities. Kaunas, 1997.

J. Golcbergas. Matematikos dėstymo tikslas ir programa aukštesniosiose mokyklose. Red. Ant. Kasakaitis. Pirmosios matematikos ir fizikos mokytojų konferencijos darbai. 1928 metais sausio mėn. 3-5 d. Klaipėda, pusl. 48-56.

M. Niss. Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM project. 2003.

M. Niss. Mathematics and Mathematics Education Policy. In: M.N. Fried, T. Dreyfus (eds.) Mathematics and Mathematics Education: Searching for Common Ground. Springer, 2014.

A.J. Stylianides. Proof and Proving in School Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 2007, vol. 38, No. 3, 289-321.

D.T. Willingham. Is It True That Some People Just Can‘t Do Math? American Educator, winter 2009-2010, 14-19.

H. Wu. The Mis-Education of Mathematics Teachers. Notices of the AMS, (2011), vol 58, No. 3.