Šiame įraše bandau bendrais bruožais apibūdinti begalinės mažybės (angl. infinitesimal) sąvoką, jos atsiradimo aplinkybes ir jos svarbą. Tai darau dėl kelių priežasčių. Pirma todėl, kad neilgai trukus bandysiu parašyti apie Alexanderio knygą Infinitesimal. How a dangerous mathematical theory shaped the modern world. Tai istorinė knyga skirta šios idėjos labai trumpam, bet labai reikšmingam vystymosi epizodui 17-ame amžiuje. Antra įrašo motyvacija yra tolesnis bandymas aiškintis matematikos santykį su kitomis intelektinės veiklos sritimis – mokslu, filosofija, teologija ir panašiai. Trečia, be galo mažo dydžio istorija yra ir matematinės analizės atsiradimo istorija. Čia matematine analize vadinama matematikos sritis atsiradusi greta geometrijos ir algebros.
Versdamas infinitesimal kaip ,,begalinė mažybė” ar ,,be galo mažas dydis” aš nusižengiu matematikos terminų žodynui. Ten žodis infinitesimal verčiamas fraze ,,nykstamasis dydis”. Tačiau ,,nykstamasis dydis” šiuolaikinėje matematikoje turi konkrečią reikšmę: kuriame nors taške į nulį konverguojanti funkcija arba į nulį konverguojanti seka. Kitaip tariant, tai yra nuo parametro priklausantis matematinis objektas, kuris artėja į nulį kai tas parametras artėja prie kurios nors savo reikšmės. Tikslią artėjimo arba konvergavimo prasmę nusako šiuolaikinė ribų teorija arba ε – δ apibrėžtis, naudojant matematikų žargoną. Tačiau toliau kalbama apie sąvoką, kurios prasmė yra kita. Todėl ir sąvokos vertimas yra kitas, naudotas tarpukario Lietuvoje kai šiuolaikinė ribų teorija dar nebuvo paplitusi tarp matematikų (apie tai rašiau čia).
Begalinės mažybės (angl. infinitesimal) sąvoka toliau naudojama apytiksle reikšme. Jei nykstamąjį dydį interpretuosime kaip tam tikrą veiksmą ar procesą, tai begalinė mažybė turėtų išreikšti to proceso rezultatą, bet ne nulį. Visas įdomumas yra šios idėjos kelis tūkstančius metų trukusi supratimo istorija. Šiuolaikinėje matematikoje begalinės mažybės sąvoka turi dvi, šiek tiek skirtingas, prasmes. Pirma, nestandartinėje analizėje be galo mažas skaičius yra toks teigiamas hiperrealusis skaičius, kurio modulis yra mažesnis už 1/n su kiekvienu natūraliuoju n. Jei skaičius yra be galo mažas, tai bet kuri tokių skaičių suma yra mažesnė už bet kurį (baigtinį) skaičių ir šia prasme be galo mažam skaičiui negalioja Archimedo principas. Todėl be galo mažų skaičių nėra tarp realiųjų skaičių suprantamų šiuolaikine prasme. Antra, sintetinėje diferencialinėje geometrijoje be galo mažas dydis apibrėžiamas naudojant kategorijų teorijos metodus. Šiame kontekste tolydumas yra savarankiška savoka apibrėžiama nesinaudojant diskretumu, kiekviena funkcija yra tolydi o vietoje ribos sąvokos naudojama tokia begalinė mažybė, kurios antrasis laipsnis yra nulis (detaliau rašoma straipsnyje An invitation to smooth infinitesimal analysis).
Begalinės mažybės sąvoka pradėta naudoti antikos laikais bandant apibūdinti tolydumą. Intuityvia prasme tolydumo idėja arba kontinuumas yra tai, kas neturi ,,plyšių”. Priešingas tolydumui yra diskretumas. Diskretumas yra tai, kas sudaryta iš atskirų, savarankiškų dalių. Tolydumas išreiškia vieningumą (angl. unity), o diskretumas išreiškia daugumą (angl. plurality). Šis priešpastatymas susijęs su Graikų filosofijai fundamentaliu klausimu apie vienį ir daugę (angl. the One and the Many).
Nepaisant to, kad nedalomumas yra fundamentali kontinuumo savybė laikoma, kad kontinuumas yra iš esmės neribotai dalus. Tikslesnis to dalumo apibūdinimas ir jo rezultatas yra problema, kurią sprendžia begalinės mažybės sąvoka. Be galo mažas dydis (angl. infinitesimal magnitude) labai apytikriai kalbant reiškia kontinuumą lokaliai. Be galo mažas dydis yra kontinuumo ,,sudedamoji dalis”, panašiai kaip ,,nedalomieji” vienetai sudaro diskretų objektą. Bet kuri kontinuumo dalis yra daloma. Taškas nėra dalomas, nes neturi dalių. Todėl taškai nėra kontinuumo ,,sudedamosios dalys”, o be galo maži dydžiai nėra taškai.
Begalinės mažybės sampratą padeda atskleisti jos lyginimas su dviem (matematinių ir filosofinių) dydžių savybių rūšimis: ekstensyvusis dydis (angl. extensive quantity) ir intensyvusis dydis (angl. intensive quantity). Savo ruožtu, šios dvi dydžių rūšys atitinka dvi fizikinių dydžių savybių rūšis. Skaidant fizikinį dydį jo savybė gali keistis arba likti nepakitusi. Dydžio savybė yra intensyvi, jei nepriklauso nuo dydžio kiekio. Tokiomis savybėmis yra temperatūra, tankis, kietumas ir panašiai. Tuo tarpu dydžio savybė yra ekstensyvi, jei ji proporcinga dydžio kiekiui. Tokiomis savybėmis yra masė, tūris ir panašiai. Matematinis dydis yra ekstensyvus, jei jam galioja lygybės ir nelygybės sąryšiai, bei turi jungimo savybę, t.y. du tos pačios rūšies dydžiai dali būti apjungti į trečią tos pačios rūšies dydį. Tokiais dydžiais yra ilgis, tūris ir panašiai.
Matematikoje nagrinėjami dydžiai (angl. magnitudes) paprastai yra ekstensyvūs. Be galo maži dydžiai buvo suprantami kaip intensyvūs dydžiai, atspindintys lokalumą. Intensyvių dydžių jungimas sukuria ekstensyvų dydį. Su begaline mažybe yra susijęs nedalomasis (angl. indivisible), kuris reiškia tai, ko negalima padalinti. Paprastai kažkas yra nedalomuoju kai jis neturi dalių, pavyzdžiui, taškas. Nedalomasis nėra tas pats, kas begalinė mažybė, bet turi tą pačią netapatumo su ekstensyviu dydžiu savybę. Pavyzdžiui, tiesės atkarpa, paviršius, kūnas turi turtingą struktūrą, kurią sudaro nedalomieji. Tiesės atveju nedalomieji yra tiesę sudarantys taškai. Apskritimo atveju nedalomieji yra tiesės atkarpos. Cilindro atveju nedalomieji yra jį sudarantys pjūviai. Kiekvienu minėtu atveju nedalomasis yra begalinė mažybė ta prasme, kad yra mažesnės dimensijos už pačią struktūrą. 16 ir 17 amžiais nedalomieji pradėti naudoti siekiant apskaičiuoti plotą, tūrį ir panašiai.
Beveik visą ilgą gyvavimo laiką begalinės mažybės sąvoką lydėjo kontraversija. Manoma, kad pirmasis begalinės mažybės idėją matematikoje panaudojo Democritus iš Abdera (460-370 m. pr. Kr. g.). Dviejų figūrų plotui ar tūriui palyginti jis panaudojo prielaidą, kad figūrą ,,sudaro” milžiniškas kiekis labai mažų ,,nedalomų” atomų. Šia prielaida grindžiamas matematinis metodas vadinamas nedalomųjų metodu (angl. method of indivisibles). Jei nedalomųjų skaičius yra begalinis ir jų dydis yra nulinis, tai jų ,,suma” turėtų būti nulinio dydžio. Jei nedalomųjų skaičius yra begalinis ir jų dydis yra nenulinis, tai jų ,,suma” turėtų turėti begalinį dydį. Dėl šio paradokso nedalomųjų metodas Graikų matematikoje buvo laikomas nepagrįstu. Tam pačiam uždaviniui spręsti buvo sukurtas išsėmimo metodas (angl. method of exhaustion). Nedalomųjų metodas buvo laikomas nelegaliu nors ir efektyviu. Tai liudija Heibergo 1906 m. rastas prarastu laikomas Archimedo darbas “The Method”. Šis darbas rodo, kad Archimedas, norėdamas rasti nežinomą atsakymą, greta mechaninio metodo naudojo ir nedalomųjų metodą. Tačiau savo pradinio įrodymo neskelbdavo, o sugalvodavo naują įrodymą grindžiamą išsėmimo metodu. Galiausiai Archimedas leidžia suprasti, kad pirmasis nedalomųjų metodą naudojo Democritus. Daugiau apie šiuos dalykus rašo Margaret E. Baron The Origins of the Infinitesimal Calculus.
Begalinė mažybė atgimsta 16 ir 17 amžiais Europoje vis dar nedalomojo pavidale. Nedalomuosius savo darbuose naudojo Kepleris, Galileo, Cavalieri, Bernoulli giminės nariai ir kiti matematikai. Minėtoje Alexanderio knygoje labai vaizdžiai nušviečiama begalinės mažybės istorija ir vaidmuo kultūros ir politikos kontekste (apie ją kitame įraše). Vėliau begalinė mažybė evoliucionuoja Barrow, Newtono, Leibnizo ir kitų žmonių veikloje. 18 amžiuje begalinę mažybę išjuokia Berkeley. 19 amžiuje G. Cantoras begalinę mažybę pavadino ,,cholera-bacila” užnuodijusia matematiką. 20 amžiuje B. Russellas laiko begalinę mažybę nereikalinga, klaidinga ir sau-prieštaraujančia sąvoka. Tokiu būdu 20 amžiaus pradžioje begalinė mažybė įgijo matematiškai nepagrįstos sąvokos įvaizdį.
Begalinės mažybės sąvokos draudimas matematikoje nustelbė ją, bet nesugebėjo visiškai išnaikinti. Fizikai ir inžinieriai niekada neatsisakė šios sąvokos savo darbuose kaip euristinės samprotavimo priemonės sprendžiant fizikos problemas. Algebroje begalinė mažybė išliko legaliu objektu nagrinėjant nearchimedinius laukus. Kaip minėta, pastarąjį pusšimtį metų begalinė mažybė grįžo į matematiką kaip pilnateisis matematinis objektas ir toliau vis labiau populiarėja tarp matematikų.
Kaip jau minėjau, kontinuumo ir begalinės mažybės sąvokų evoliucija nepaprastai turtinga ir kontraversinė. Negaliu jos čia bent kiek pilniau apibūdinti. Kol kas pacituosiu Johną L. Bellą iš jo teksto Stanford Encyclopedia of Philosophy apie begalinės mažybės ir tolydumo sąvokų evoliucijos reikšmę 16 ir 17 amžiais:
The early modern period saw the spread of knowledge in Europe of ancient geometry, particularly that of Archimedes, and a loosening of the Aristotelian grip on thinking. In regard to the problem of the continuum, the focus shifted away from metaphysics to technique, from the problem of “what indivisibles were, or whether they composed magnitudes” to “the new marvels one couldaccomplish with them” (see Murdoch [1957], p. 325) through the emerging calculus and mathematical analysis. Indeed, tracing the development of the continuum concept during this period is tantamount to charting the rise of the calculus. Traditionally, geometry is the branch of mathematics concerned with the continuous and arithmetic (or algebra) with the discrete. The infinitesimal calculus that took form in the 16th and 17th centuries, which had as its primary subject matter continuous variation, may be seen as a kind of synthesis of the continuous and the discrete, with infinitesimals bridging the gap between the two. The widespread use of indivisibles and infinitesimals in the analysis of continuous variation by the mathematicians of the time testifies to the affirmation of a kind of mathematical atomism which, while logically questionable, made possible the spectacular mathematical advances with which the calculus is associated. It was thus to be the infinitesimal, rather than the infinite, that served as the mathematical stepping stone between the continuous and the discrete.
Gerokai išsamesnė už tekstą interneto enciklopedijoje yra Johno L. Bello knyga The Continuous and the Infinitesimal in Mathematics and Philosophy.